Sottospazi U e W

[reanto91]

Nello spazio vettoriale R3 siano dati i sottospazi
U=[(x,y,z)appartenente R3|x-y+2z=0]
W=[(x,y,z)appartenente R3|2x+y-z=0]
Determinare
a)dim(U intersezione W) ed una base per U intersezione W
b) un sottospazio V di R3 tale che R3= somma diretta U e V

[ciampax]

Per determinare l'intersezione degli spazi U e W basta calcolare le soluzioni del sistema di equazioni che determinano gli spazi, e cioè:

[math]\left\{\begin{array}{l}
x-y+2z=0\\ 2x+y-z=0
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione è

[math]z=-3x,\ y=-5x[/math]

e quindi

[math]U\cap W=\{(x,-5x,-3x)\ :\ x\in\mathbb{R}\}[/math]

per cui (dal momento che i vettori dello spazio dipendono solo da un parametro) si ha

[math]\dim(U\cap W)=1[/math]

. Ponendo

[math]x=1[/math]

si trova la base

[math]B=\{(1,-5,-3)\}[/math]

.

Per trovare lo spazio V cercato, consideriamo che una base dello spazio U: poiché, dall'equazione che lo definisce, si ha

[math]x=y-2z[/math]

e quindi una sua base si trova ponendo, alternativamente,

[math]y=0, z=1[/math]

e

[math]y=1, z=0[/math]

, da cui

[math]B=\{(1,1,0),\ (-2,0,1)\}[/math]

. Per trovare una base dello spazio V che dia somma diretta, basta cercare un vettore

[math](a,b,c)[/math]

tale che esso risulti linearmente indipendente dagli altri due: scritta la matrice con i tre vettori

[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\\ a & b & c
\end{array}\right)[/math]

tale condizione equivale a dire che

[math]\det(A)\not=0[/math]

e quindi

[math]-b+2c+a\not=0\ \Rightarrow\ b\not=a+2c[/math]

Basta scegliere, allora

[math]a=c=0, b\not=0[/math]

per avere un vettore linearmente indipendente dagli altri. Per cui possiamo scegliere

[math]V=span\{(0,1,0)\}[/math]