Sottospazi di spazi normati

[Spook]

Perchè i sottospazi di R^k sono caratterizzati da equazioni del tipo T(x)=0, dove T è una trasformazione lineare da R^k a R^(k-h), e dove h è la dimensione del sottospazio? Quindi è tipo una equazione f(x)=0, ma perchè?

[dissonance]

"Spook":T è una trasformazione lineare da R^k a R^(k-h), e dove h è la dimensione del sottospazio?

Non necessariamente $h$ è la dimensione del sottospazio; questo è vero quando $T$ ha rango massimo, altrimenti no. Il teorema sull'argomento è il ben noto teorema di Rouché-Capelli.

Comunque, questo è un risultato basilare dell'algebra lineare: ogni sottospazio vettoriale di uno spazio di dimensione finita possiede equazioni cartesiane. Volendo riscrivere questo risultato in astratto, si ottiene la tua osservazione: ogni sottospazio vettoriale di uno spazio di dimensione finita è il nucleo di qualche applicazione lineare.