Sottospazi densi in $L^p$

[Camillo]

Premessa

Valgono i seguenti Teoremi e Definizioni :

a)Teorema - Se $Omega$ è un aperto di $RR^n$, l'insieme delle funzioni a scala in $Omega$ è un sottospazio denso sia di $L^1(Omega)$ che di $L^2(Omega)$.

b) Definizione -Sia $Omega$ un aperto di $RR^n$ .Con $C_0^oo(Omega) $ oppure con $D(Omega)$ si indica lo spazio vettoriale, reale o complesso, delle funzioni $v in C_0^oo(Omega) $ il cui supporto è un sottoinsieme compatto di $ Omega$ .

c)Teorema -Se $Omega $ è un aperto di $RR^n $, lo spazio $D(Omega)$ ($ C_0^oo(Omega)) $ è un sottospazio denso sia di $L^1(Omega)$ che di $L^2(Omega)$.
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Quindi ogni funzione $u in L^1(Omega) $ oppure $uinL^2(Omega)$ è limite di una successione di funzioni $u_k $ a scala in $ Omega $.
Ed anche ogni funzione $u in L^1(Omega)$oppure $u in L^2(Omega)$ è limite di una successione di funzioni $u_k in C_0^oo(Omega)$.

Desidero trovare queste successioni .
Per semplicità considero la funzione $u(x)=1/sqrt(x)$ che appartiene a $L^1(0,1)$.
In base ai teoremi sopra indicati deve essere possibile determinare :

a) una successione di funzioni a scala $u_k$ che abbia come limite la funzione $u(x)$.
Per determinare la successione divido l'intervallo $ (0,1)$ in $2^k$ intervalli e in ogni subintervallo definisco come funzione a scala quella che assume come valore l'estremo inferiore della $u(x)$ nel subintervallo stesso.Va poi però dimostrato che $lim_(k rarr oo)u_k(x)=u(x)=1/sqrt(x)$.

b) una successione di funzioni $v_k in C_0^oo(0,1)$ con supporto un sottoinsieme compatto di $(0,1)$ che converga a $u_k(x)$.
Ho pensato a $ v_k=1/(sqrt(x)+1/k) $ .E' corretta come idea ?
Deve convergere a $u(x)$ in norma $L^1$ ?
Grazie a chi mi chiarirà le idee.

[gugo82]

"Camillo":
Quindi ogni funzione $u in L^1(Omega) $ oppure $uinL^2(Omega)$ è limite di una successione di funzioni $u_k $ a scala in $ Omega $.
Ed anche ogni funzione $u in L^1(Omega)$oppure $u in L^2(Omega)$ è limite di una successione di funzioni $u_k in C_0^oo(Omega)$.

Desidero trovare queste successioni .
Per semplicità considero la funzione $u(x)=1/sqrt(x)$ che appartiene a $L^1(0,1)$.
In base ai teoremi sopra indicati deve essere possibile determinare :

a) una successione di funzioni a scala $u_k$ che abbia come limite la funzione $u(x)$.
Per determinare la successione divido l'intervallo $ (0,1)$ in $2^k$ intervalli e in ogni subintervallo definisco come funzione a scala quella che assume come valore l'estremo inferiore della $u(x)$ nel subintervallo stesso.Va poi però dimostrato che $lim_(k rarr oo)u_k(x)=u(x)=1/sqrt(x)$.

b) una successione di funzioni $v_k in C_0^oo(0,1)$ con supporto un sottoinsieme compatto di $(0,1)$ che converga a $u_k(x)$.
Ho pensato a $ v_k=1/(sqrt(x)+1/k) $ .E' corretta come idea ?
Deve convergere a $u(x)$ in norma $L^1$ ?
Grazie a chi mi chiarirà le idee.

Per quanto riguarda a) c'è una costruzione canonica abbastanza semplice.
Visto che l'immagine di $u$ non è limitata saranno non vuoti, per ogni scelta di $n in NN$, le antiimmagini mediante $u$degli intervalli della famiglia ${ [ (i-1)/2^n,i/2^n) }_(i=1,...,n*2^n) cup { [n,+oo) }$; dette $E_1, ..., E_(n*2^n)$ le antiimmagini degli intervalli limitati ed $F_n$ l'antiimmagine della semiretta appartenenti alla precedente famiglia, poni $s_n=\sum_(i=1)^(n*2^n) chi_(E_i) + chi_(F_n)$; a questo punto il gioco è fatto in quanto la successione $(s_n)$ è positiva, crescente e convergente puntualmente verso $u$ in $[0,1]$: visto che $u in L^1([0,1])$, per la stessa definizione dell'integrale di Lebesgue hai $\int_0^1|s_n-u|dx rarr 0$, ossia $s_nrarr u$ nel senso di $L^1$.


Per la b), le $v_k$ che proponi tu non sono a supporto compatto in $]0,1[$: infatti ognuna di esse è non nulla identicamente in $]0,1[$, il quale non è compatto.
Per trovare una successione di elementi $C_c^oo(]0,1[)$ approssimanti una $u inL^1(]0,1[)$ puoi fare così: visto che $C_c(]0,1[)$ è denso in $L^1(]0,1[)$, scegli una funzione continua a supporto compatto $g_n$ che disti in norma $L^1$ da $u$ meno di $1/(2^(n+1))$; prolunghi $g_n$ a tutto $RR$ con continuità e trovi una opportuna mollificata $g_n^(epsilon_n)$ tale che $||g_n^(epsilon_n) -g_n||_(L^1(]0,1[))le 1/(2^(n+1))$ (questo si può fare perchè $lim_(epsilon rarr 0^+)g_n^epsilon = g_n$ in $L^1(RR)$); visto che $||g_n^(epsilon_n)-u||_(L^1(]0,1[))le||u-g_n||_(L^1(]0,1[))+||g_n-g_n^(epsilon_n)||_(L^1(]0,1[))le 1/(2^n)$ vedi subito che $g_n^(epsilon_n) rarr u$ nel senso di $L^1$. Ti avverto che produrre esplicitamente la successione approssimante è difficile, se non impossibile.

[Camillo]

Grazie a gugo per le spiegazioni, che vado a meditare ( ci vorrà del tempo ).