Sottoinsiemi separati e contigui.

[indovina]

Il secondo argomento del programma di analisi1 riporta:
I numeri reali (capitolo)
1. il campo ordinato dei numeri reali
2.sottoinsiemi separati e contigui.

@dissonance: sto usando il tuo file pdf per studiare la teoria, ma non trovo questo argomento.
Ho visto su google qualcosa, ma non mi piace molto, vorrei una spiegazione, o quantomeno la definizione di 'sottoinsiemi separati e contigui' e qualche esempio se si può, chi mi può aiutare?
grazie

[dissonance]

Ciao clever. Hai ragione, il testo non parla di classi separate nel paragrafo riservato ad estremo superiore ed inferiore. Ecco la definizione di classi separate: (classe è un sinonimo di insieme)

Siano $A, B \subset RR$. Diremo che $A, B$ sono separate sse $a<=b$ per ogni $a\inA, b \in B$. (Oppure $b<=a$ per ogni $a\inA, b \in B$). A parole, ogni elemento di $B$ è un maggiorante di $A$. Se $A$ e $B$ sono separate con $a<=b$, un numero reale $x$ tale che $a<=x<=b$ per ogni $a\inA, b\inB$ si dice elemento di separazione. Le classi $A, B$ si dicono contigue se ammettono un unico elemento di separazione.

[dissonance]

Anche sul Bramanti-Pagani-Salsa non mi pare di parli di classi separate. Anzi a dire il vero il capitolo sui numeri reali (dell'edizione 1995) lo trovo parecchio incasinato e difficilotto... lascialo perdere al momento e continua a leggere il Marcellini-Sbordone (IMHO). Vedo di trovare qualche riferimento bibliografico più semplice e chiaro.

[indovina]

Io ora sto usando il tuo file pdf Bramanti-Salsa.
Il marcellini-sbordone è sempre in quella tua email che mi mandasti?
Sto facendo un 'riassunto' su un quaderno davvero passo, passo, sto riordinando le idee e cerco di non saltare nulla.
E poi, non so se hai notato, cerco di fare uno studio di funzione al giorno più uno studio di funzione presi dal forum già commentati, cosi cerco di ampliare le mie conoscenze.

Per la tua definizione di sottoinsiemi separati e contigui, sul file pdf bramanti, dice a pag 87 che

La seconda ragione è che questa presentazione ci è sembrata la più semplice e la
più aderente all'idea che ogni studente si fa di un numero reale; è questo che ce l'ha
fatta preferire ad altre definizioni pure "costnittive", come, ad esempio, le sezioni
di Dedekìnd o le coppie di classi contigue.''

Infatti sul quaderno degli appunti, proprio i primi giorni di università, il docente parlò di dedekind.
a nessuno l'ha chiesto, ma non vorrei fare come l'altra volta che lo rimasto da parte, voglio studiarmelo;
Dedekind afferma proprio la definizione che tu mi hai scritto giusto?

[dissonance]

Non proprio, clever. La costruzione secondo Dedekind dei numeri reali è un bel pezzo di teoria che non si può esaurire in due righe qui sul forum (a quest'ora, poi ).

Come ti dicevo, la costruzione dei numeri reali può essere fatta in vari modi anche molto diversi tra loro: bisognerebbe capire qual è quello usato dal tuo professore e studiare quello. In tutti i casi, se hai studiato una qualsiasi costruzione su un libro di testo, consiglio di non fossilizzarti su questo argomento (che, detto tra noi, è proprio roba da matematici ) e di andare avanti su altre questioni più importanti e anche più interessanti, specialmente per un aspirante fisico come te.

[indovina]

L'argomento dopo massimi-minimi-estremo superiore-inferiore
è LA PROPRIETà DI COMPLETEZZA.
Sul libro ho trovato questo assioma (non c'è alcuna dimostrazione o roba varia) e dice:

Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti di numeri reali con la proprietà che $a Allora esiste almeno un numero reale $c$ tale che $a
va bene questa per la proprietà di completezza?

[dissonance]

No, vai avanti a leggere. Questo non è l'assioma di completezza, anche se intuitivamente uno potrebbe pensare che lo sia; ma si tratta di un grosso errore, perché questa proprietà è verificata anche dai numeri razionali. Il "vero" assioma di completezza non può quindi essere questo, perché esso è proprio il discrimine tra i numeri razionali e quelli reali.

E un'altra cosa. Questo che tu hai indicato non è certamente un assioma dei numeri reali, né di qualsiasi altro sistema numerico che io conosca. Infatti questa è una proprietà dei numeri razionali e anche di quelli reali che si può dimostrare alla stessa maniera, ovvero così:

Siano $a, b$ razionali oppure reali tali che $apunto medio di $a$ e $b$). Allora $a
$a=1a=(1/2+1/2)a=a/2+a/2$ (qui ho usato le proprietà algebriche di $QQ$ e di $RR$);
essendo $a segue che $a=a/2+a/2
Analogamente si prova che $c
Visto? Non è necessario mettere questa proprietà negli assiomi, essa discende dagli assiomi di campo ordinato (sto usando la notazione del Marcellini-Sbordone). Sono campi ordinati tanto i razionali quanto i reali, ecco perché la proprietà vale per tutti e due i sistemi numerici.

Ricordo sempre di fare attenzione alle notazioni. Ogni autore ne usa di diverse. Se stai leggendo il Marcellini-Sbordone, ti consiglio di non consultare altri libri di analisi finché non hai compreso bene l'argomento "numeri reali" come lo trattano i due autori. Successivamente potrai dare un'occhiata ad altri testi e renderti conto di come sia possibile trattare questo argomento in varie maniere, profondamente diverse.

[indovina]

Quindi la proprietà di completezza, è quella che mi hai dato tu ora con la dimostrazione a seguire?
Si, sto seguendo il amrcellini-Sbordone e credo che usero solo quello per non confondermi di più le idee su troppi libri, il tempo è poco.
A pag 12 riporta 'l'assioma di completezza', non c'entra un tubo quello?


Sul quaderno ho annotato la tua dimostrazione (che mi spiegherai cosa riguarda specificamente, mi sto perdendo), sbirciando su google, c'è proprio La proprietà di completezza sotto l'assioma di Dedekind
forse è quello che mi serve.
http://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_di_Dedekind

[Fioravante Patrone1]

"clever":
Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti di numeri reali con la proprietà che $a Allora esiste almeno un numero reale $c$ tale che $a
va bene questa per la proprietà di completezza?

Sì, va bene.

dissonance ha interpretato in altro modo la frase (come se $c$ dipendesse da $a$ e $b$), ma ciò non è detto nella frase. La riformulo in modo che ciò sia più evidente:

Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti di numeri reali con la proprietà che, comunque si scelgano $a \in A$ e $b \in B$, si ha $a \le b$.
Allora esiste almeno un numero reale $c$ tale che $a \le c \le b$ qualunque siano $a$ in $A$ e $b$ in $B$.


@ clever:
non puoi usare a capocchia il simbolo "$<$", né tanto meno usarlo per indicare il "$\le$"

[indovina]

Non volevo usare a capocchia i simboli, credimi non ricordavo come metterli in formule giuste sul forum.

per la faccenda della proprietà di completezza, voglio capire:
come 'definizione' uso quello che hai appena detto tu, con la dimostrazione di dissonance, o quella di dissonance è una particolare dimostrazione per cui $c=(a+b)/2$?

(scusate se chiedo imperterrito su tale argomento, ma è per mettermelo per bene sul quaderno per poi assimilarlo e ripeterlo).
grazie

[dissonance]

Scusa clever, ho letto frettolosamente il tuo post e ho preso fischi per fiaschi.

Pensavo che avessi confuso l'assioma di completezza con la proprietà che alcuni chiamano (un po' impropriamente IMHO), di densità dei numeri reali in sé: comunque si prendano $x, y\inRR$, con $x
Tornando all'assioma di completezza, è perfettamente normale che adesso non ti dica nulla. Fra qualche pagina, però, lo vedrai entrare in azione e allora inizierai a capire cosa significa e perché discrimina sostanzialmente i numeri razionali dai numeri reali.

[indovina]

l'assioma di completezza, chiamato anche assioma di dedekind o 8(sul libro che adottavo, lo chiama anche di continuità) lo scrivo come ha scritto il membro di prima.
Per la dimostrazione, uso la tua.

Io dopo questo argomento, devo trattare proprio la densità dei razionali nei reali
**Pensavo che avessi confuso l'assioma di completezza con la proprietà che alcuni chiamano (un po' impropriamente IMHO), di densità dei numeri reali in sé: comunque si prendano , con esiste tale che . La dimostrazione è quella che ho scritto sopra. **

vuoi dirmi che la tua dimostrazione era per questo argomento qui? cioè densità dei razionali nei reali?

inoltre è giusto affermare che
1. l'insieme dei razionali è inadeguato per misurare le lunghezze.
2. l'insieme dei reali è un campo ordinato, i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea.
3. Non esiste alcun numero razionale $c$ tale che $c^2=2$

su questo argomento che c'è da aggiungere?

[dissonance]

No, no, aspetta, stai facendo di nuovo confusione. Intanto una piccolissima osservazione: stiamo leggendo un particolare autore? E allora atteniamoci alle sue notazioni, evitando di introdurne altre prese magari da Wikipedia. Nello specifico, stiamo leggendo Marcellini e Sbordone. I due autori parlano di assioma di completezza e noi adotteremo questa terminologia. Cerchiamo di mantenere il massimo dell'ordine anche su queste quisquilie, altrimenti se facciamo confusione ricadremo nei vecchi errori.

Questo rimprovero è indirizzato in primo luogo a me, ho sbagliato a introdurre questo termine densità e ho creato confusione. Ti prego di cancellare mentalmente ogni riferimento a questo termine fatto da me negli ultimi due post.
___________________________

Detto questo, non sono certo che tu abbia ben compreso il concetto di assioma. Hai studiato la geometria di Euclide a scuola superiore? L'introduzione assiomatica dei numeri reali è perfettamente analoga alla fondazione di questa geometria. Ti riporto, ad esempio, alcuni passi del libro Il nuovo pensiero geometrico di Cateni-Fortini-Bernardi, cercando di sottolineare le analogie con la costruzione del sistema reale.

"Il nuovo pensiero geometrico":Vogliamo ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. [...] Abbiamo detto innanzi che per spiegare cosa è un quadrato dobbiamo presupporre la conoscenza dei concetti di quadrilatero, lato, angolo, uguaglianza. [...] Ma anche queste definizioni presuppongono la conoscenza di altri termini geometrici (poligono, vertice, segmento...) i quali pure possono essere introdotti solo mediante l'ausilio di altri enti che, a loro volta, sono definibili solo facendo riferimento ad altri concetti precedentemente considerati. Tale procedimento "a ritroso" [...] non può evidentemente continuare all'infinito. In altre parole, è necessario che di alcuni concetti, detti concetti o enti primitivi non venga data alcuna definizione. Essi costituiranno la base sulla quale costruire, poi, l'edificio di tutte le altre definizioni.

Successivamente gli autori precisano i concetti primitivi che assumeranno nel testo: si tratta del punto, della retta, e del piano.

Ora ti propongo uno stralcio di pag. 11 del Marcellini-Sbordone

"Elementi di analisi matematica 1":Assumiamo che esista un insieme di numeri, che chiamiamo numeri reali e che indichiamo con $RR$, su cui sia possibile eseguire le quattro operazioni elementari $+, -, *, "/"$ e stabilire quale è il maggiore tra due numeri.

(Ho modificato leggermente il testo per renderlo più chiaro).
Gli autori stanno qui assumendo dei concetti primitivi che useranno lungo tutto il testo. E' utile fare la massima chiarezza sui concetti primitivi introdotti, cosa che purtroppo il libro non fa e allora cerchiamo di rimediare qui sul forum.

Il primo concetto primitivo è un insieme, denotato con $RR$. I suoi elementi si dicono numeri reali.
I secondi concetti primitivi sono delle applicazioni (o funzioni, o operazioni: questi termini sono tutti sinonimi). Esse si indicano con $+, *$ (e $-$ e $/$: ma non è necessario assumere queste applicazioni come concetti primitivi, più avanti le ricaveremo da $+$ e $*$ rispettivamente).
Il terzo concetto primitivo è una relazione d'ordine, indicata con $<=$.

A questo punto della trattazione, dunque, abbiamo un insieme i cui elementi si dicono numeri, e siamo in grado di sommarli, moltiplicarli, e stabilire quale sia il maggiore tra due qualsiasi di essi. Questi concetti sono primitivi e non ci porremo ulteriori domande sulla loro natura.

Si tratta ancora di una teoria morta: abbiamo sì degli oggetti ("punto, retta e piano" da una parte; $(RR, +, *, <=)$ dall'altra) , ma non sappiamo proprio cosa farci. Andiamo avanti allora con la lettura.

"Il nuovo pensiero geometrico":Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti che, a loro volta, possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri, di modo che, di concetto in concetto, si deve necessariamente risalire ai concetti primitivi. In modo del tutto analogo, per dimostrare una data proprietà ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente dimostrate che, a loro volta, dipendono da altre. Si viene così a costruire, con un procedimento "a ritroso", un successione di proprietà che non può, chiaramente, estendersi all'infinito. Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali vengano introdotte senza darne una dimostrazione. Tali proprietà primitive vengono dette postulati o assiomi. [...] Si osservi che il discorso geometrico ha un inizio del tipo seguente: "noi intendiamo trattare di certi enti $x, y, z, ...$ dei quali non diamo alcuna definizione, ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà $a, b, c,...$". [Nota: Il sottolineato è mio.]
E' ovvio che non ha alcun senso il cercare di dimostrare tali proprietà (i postulati); e ciò non solo per l'inesistenza di proprietà precedenti su cui appoggiare il ragionamento, ma soprattutto perché quei postulati esprimono caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata. Se ad esempio dicessimo: "noi vogliamo ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi, di colore rosso, elettrizzati positivamente, ..." che senso avrebbe cercare di dimostrare che il colore di quegli oggetti è rosso? Poiché ci saremmo potuti occupare, anziché di oggetti rossi, di oggetti bianchi, verdi o turchini non avrebbe alcun senso il cercare un motivo logico che giustifichi la scelta del loro colore.
[...]I postulati, fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi, li delimitano e li caratterizzano togliendo loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché essi erano stati introdotti. Si può addirittura asserire che i postulati diano una definizione implicita degli enti primitivi.

E in seguito vengono illustrati i celebri postulati di Euclide della geometria piana. Ne cito solo uno, come esempio:

Postulato Dato un punto, esistono delle rette che non lo contengono.

Come i postulati di Euclide infondono la vita agli enti primitivi "punto, retta, piano", così gli assiomi dei numeri reali (2.1), ..., (2.11) secondo Marcellini e Sbordone infonderanno vita alla nostra quaterna astratta $(RR, +, *, <=)$.

Per concludere riprendo il sottolineato del mio ultimo "quote" applicandolo alla nuova situazione. Così come non aveva senso cercare di dimostrare che l'oggetto in questione era rosso, non ha senso (nel quadro assiomatico del testo di Marcellini e Sbordone) cercare di dimostrare l'assioma di completezza. E' anzi un errore estremamente grave, direi da bocciatura immediata ad un esame non solo di Analisi ma di qualsiasi disciplina matematica. Ecco perché ho scritto tutta questa zuppa, che purtroppo è molto lunga ma che ti prego di leggere, segnalando ogni punto che non ti sia chiaro.
___________________________

P.S.: Un consiglio. Non ti affannare a stilare un quaderno riassuntivo. Prima finisci di leggere il primo capitolo del libro, poi se vuoi butti giù un riassunto. Stai cercando di riassumere prima ancora di avere appreso; io purtroppo non conosco la didattica "scientifica", ma a livello intuitivo non credo di sbagliare se ti dico che stai bruciando le tappe.

[indovina]

Ho letto tutto quello che mi hai scritto (anzi me lo sono anche stampato se vuoi saperlo).
Ebbene, ho detto proprio una grandissima baggianata, ovvero quello di chiedere una dimostrazione per il postulato di completezza.
Il postulato è quello, e non c'è niente da dimostrare
(si al liceo ho studiato cosa sono i postulati, ricordo il 5 di Euclide, quello riguardante le rette parallele, ad esempio).

_____________________________________________________________

Ritornando al discorso che oggi vorrei studiare per bene è Proprietà di completezza (che abbiamo già descritto ieri) e la densità dei razionali nei reali. (io vorrei capire se la tua dimostrazione si riferisse proprio alla densità dei razionali nei reali.
Sul marcellini-sbordone non ho visto nulla che riguardi questo argomento.
Cosa che però ho trovato nel Bramanti-Salsa a pag 86.
Parte dal corollario, introducendo un discorso che abbiamo fatto qualche giorno fa parlando di elemento separatore, (sottoinsieme contiguo se ammette un unico elemento separatore)

La proposizione: L'insieme dei razionali $Q$ è denso in $RR$ è visto come conseguenda della Proprietà di Archimede.
Questa è la proposizione, che (scusa se lo cito, ma non so come 'arrampicarmi') su wikipedia riporta il Teorema (densità dei razionali nei reali) (e credo che sia questa dimostrazione, quella da adottare), poi non so se forse sono io a non aver visto bene sui due libri che ora sto adottando.
Dunque che ne pensi se prendo come dimostrazione del teorema:

http://it.wikiversity.org/wiki/Numeri_r ... onda_parte)#Teorema_.28densit.C3.A0_dei_razionali_nei_reali.29

partendo sempre dal corollario di pag 86 (bramanti-salsa)?
___________________________________
Io queste cose 'bene o male' già le ho apprese, prima le studio, sottolineando e capendo quello che leggo, poi ritrattandolo sul quaderno per tenerlo più fisso e agevole per una prossima ripetizione, ordinata e meno confusonaria (cioè su fogli sparsi, come è mio solito fare).

_________
Sulla ''zuppa'' da te scritta, ho ricavato altre cose che sapevo, ma sapevo perchè ricavate dal bagaglio culturale che ho, ma non certo dal fatto che io mi sia messo e aperto un libro per studiarle e approfondirle.
________

[indovina]

Eh si che mi sto incartando!Hai notato bene.
Ora mi sono deciso, prendo solo il marcellini-sbordone e basta.
A pag 48, c'è tutto quello che mi serve.
Per ora guardo questa, se ci sono dubbi, scrivo qui.

[dissonance]

Ti riporto quattro stralci di miei precedenti interventi in questo topic:

"dissonance":Anche sul Bramanti-Pagani-Salsa non mi pare di parli di classi separate. Anzi a dire il vero il capitolo sui numeri reali (dell'edizione 1995) lo trovo parecchio incasinato e difficilotto... lascialo perdere al momento e continua a leggere il Marcellini-Sbordone (IMHO).

"dissonance":Se stai leggendo il Marcellini-Sbordone, ti consiglio di non consultare altri libri di analisi finché non hai compreso bene l'argomento "numeri reali" come lo trattano i due autori.

"dissonance":stiamo leggendo un particolare autore? E allora atteniamoci alle sue notazioni, evitando di introdurne altre prese magari da Wikipedia.

Aggiungi a questa roba quest'altra affermazione di Sergio che, ça va sans dire ([size=75]spero di aver scritto correttamente![/size] ), condivido appieno:

Scegli un testo e cerca di capirlo

"Un" testo, clever, $1$ di numero. Anzi, non c'è neanche da scegliere: hai intrapreso la lettura di un libro; procedi con quello e non cercare altro materiale finché non lo hai compreso appieno.

Se non si fosse capito lo ripeto ancora, ancora più esplicitamente:
1) lascia perdere Wikipedia;
2) lascia perdere il Bramanti-Pagani-Salsa.

Ti è venuta la curiosità di approfondire l'argomento "densità dei razionali nei reali"? Applicati nella lettura delle pagine 10-47 di Elementi di analisi matematica 1. A pagina 48 troverai soddisfazione alla tua curiosità. Ma devi aver capito bene ciò che viene prima, ho appena controllato sul libro, sono tutte cose più che fondamentali: non pensare di saltare neanche un rigo.


[EDIT] Scrivevo contemporaneamente a clever.

Ora mi sono deciso, prendo solo il marcellini-sbordone e basta.
A pag 48, c'è tutto quello che mi serve.

Esatto!!!

[indovina]

Come ho detto prima, a pag 48 c'è quello che mi serve, però vorrei tralasciare il ''lemma di densità'' perchè poi parla delle funzioni esponenziali, e vorrei farlo dopo, nel secondo capitolo del programma.
Ora (non è che ho qualche dubbio) ma voglio capire nella dimostrazione che riporta per 'densità dei numeri razionali'' , l'ho riscritta mettendo le famosi ipotesi e tesi, per renderlo piu ordinato

ipotesi:
per ogni $a,b$ coppia di numeri reali messi in relazione d'ordine $a
tesi:
esiste un $x$ tale che sia: $a
dimostrazione:
Si pone $a>0$ e $n>1/(b-a)$ con $n$ appartenente ad $N$

$n>1/(b-a)$ è riscrivibile come:

$n(b-a)>1$

$nb-na>1$

si prende un $m$ molto piccolo

$m-1
particolarizzando si ha:
$na
alla fine si ha:
$na
$x=m/n$

è l'$x$ della tesi.

(mi spiegate solo quel passaggio?)

[indovina]

*Così si va poco lontano*
1)Ecco, no Sergio (non voglio giustificarmi), ma non ricordo mai come si fa il 'minore uguale' sul forum, non perchè ho letto superficialmente
2)Stampando il foglio dal pdf, non si vede proprio che ci fosse scritto $na ecco che adesso 'è un'altra cosa'.

Il resto l'ho capito, ora me l'appunto sul quaderno. Credo che per questo argomento, sia tutto ok.

____________________
Sto leggendo le primissime pagine (da 12 a 16) che sono le basilari cose che si applicano nei primi esercizi.
____________________
Dopo l'argomento 'densità dei razionali nei reali' dovrei trattare 'la rappresentazione dei numeri reali sulla retta' (che non trovo sul libro), intervalli (non lo trovo), valore assoluto (che gli dedica tra pagine da pag 28).
1)'la rappresentazione dei numeri reali sulla retta', argomento ovvio, ma dove lo approfondisco?
2) gli intervalli li ho già 'sbirciati' quando ho stampato un paio di pagine dal bramanti, ma ovviamente non avrei dovuto farlo xD (sta a pag 84, ed è davvero 'poco')

[indovina]

"Sergio":[quote="clever"]1)Ecco, no Sergio (non voglio giustificarmi), ma non ricordo mai come si fa il 'minore uguale' sul forum, non perchè ho letto superficialmente

Sei all'889° messaggio e ancora non hai imparato che basta scrivere <= ?????

$<=$ xD credo che ora non lo dimenticherò più!

"clever":Dopo l'argomento 'densità dei razionali nei reali' dovrei trattare 'la rappresentazione dei numeri reali sulla retta' (che non trovo sul libro), intervalli (non lo trovo), valore assoluto (che gli dedica tra pagine da pag 28).
1)'la rappresentazione dei numeri reali sulla retta', argomento ovvio, ma dove lo approfondisco?
2) gli intervalli li ho già 'sbirciati' quando ho stampato un paio di pagine dal bramanti, ma ovviamente non avrei dovuto farlo xD (sta a pag 84, ed è davvero 'poco')

La rappresentazione dei reali sulla retta è "argomento ovvio"? E allora non ci perdere tempo (se ci fosse scritto qualcosa del tipo "topologia della retta reale" sarebbe un altro paio di maniche, ma non è questo il caso).
Gli intervalli sono definiti alle pagine 94 e 95.
Morale: segui il testo. Se il programma del corso prevedesse un testo diverso dal Marcellini Sbordone, dovresti cambiare testo.
Se il Marcellini Sbordone va bene, allora segui il testo!
Non è affatto detto che il programma segua lo stesso ordine di argomenti di un testo, perché non esiste un unico ordine (c'è chi tratta prima i limiti di funzioni, chi prima quelli di successioni; chi tratta prima le serie e chi prima gli integrali ecc.). Può ben capitare che vengano consigliati più testi, che questi seguano ordini espositivi diversi, e che il programma segua un ordine suo; può anche capitare che il programma sia stato scritto con riferimento a un testo che veniva adottato qualche anno fa e ora non più.
Se il testo che stai usando va bene per il tuo prof, segui il testo e lascia perdere il programma. Dopo essere andato avanti, molto avanti, col testo, darai un'occhiata al programma per vedere se hai saltato qualcosa (ma sarà difficile).[/quote]


Io alla prima interrogazione orale, feci un bruttissimo errore, cioè quello di non prestare minimamente attenzione al programma del professore e dedicarmi solo sul libro.
Errore che non voglio far più, seguo passo passo il programma del professore, e ovviamente dare una sfogliata al libro la sera appunto per vedere cosa ho saltato.
Sto imparando il metodo di studio, che a quanto sembra, è davvero difficile appropriarsene di uno.
_______________
Non voglio essere off-topic, ma voglio dire che posterò qui, in questo topic, tutti le argomentazioni del primo 'capitolo' del programma del professore.
Cioè quello dei numeri reali.
Ecco i 'sotto-argomenti'
1. il campo ordinato dei numeri reali
2. sottoinsiemi separati e contigui
3. minimo
4. massimo
5.estremo inferiore
6. estremo superiore
7. proprietà di completezza
8. densità dei razionali nei reali
9. rappresentazione dei numeri reali sulla retta
10. intervalli
11. valore assoluto
12. intorni
13. punti di accumulazione per un insieme
14. insiemi aperti
15. insiemi chiusi
16. frontiera di un insieme
17. principio di induzione
18. insiemi infiniti
19. potenza del continuo

__________________________
Sul punto $9$ semmai vedo qualcosa sul quaderno degli appunti, non si sa mai se quello vuole qualcosa che sia più suo che dal libro.
(lo posto e vediamo insieme, se si può, se va bene come appunto o meno).

[dissonance]

Clever, mi sa che non ci siamo ancora come metodo di studio. [EDIT] Non avevo letto questo messaggio di Sergio

Morale: segui il testo. Se il programma del corso prevedesse un testo diverso dal Marcellini Sbordone, dovresti cambiare testo.
Se il Marcellini Sbordone va bene, allora segui il testo!
Non è affatto detto che il programma segua lo stesso ordine di argomenti di un testo, perché non esiste un unico ordine (c'è chi tratta prima i limiti di funzioni, chi prima quelli di successioni; chi tratta prima le serie e chi prima gli integrali ecc.). Può ben capitare che vengano consigliati più testi, che questi seguano ordini espositivi diversi, e che il programma segua un ordine suo; può anche capitare che il programma sia stato scritto con riferimento a un testo che veniva adottato qualche anno fa e ora non più.
Se il testo che stai usando va bene per il tuo prof, segui il testo e lascia perdere il programma. Dopo essere andato avanti, molto avanti, col testo, darai un'occhiata al programma per vedere se hai saltato qualcosa (ma sarà difficile).

che condivido appieno, quindi cancello il mio intervento e faccio riferimento al suo.

[indovina]

"Sergio":Ma il tuo prof che libro adotta?

Lui ne ha proposti 3, ve li scrivo:

1) Marcellini-Sbordone: analisi matematica uno. Liguori

2) Giusti, analisi matematica uno Boringhieri (ed 1985)

3) Bramanti-Pagani-Salsa analisi matematica 1 zanichelli edizione 2009.

Io avevo adottato il terzo, che è molto 'breve' fa riferimenti a esercizi di fisica 1, ecco perche mi piaceva, ma salta molte definizioni e ora ho adottato il marcellini-sbordone.

@dissonance.
Sto cercando di migliorare il mio metodo di studio ogni giorno di più, dedico il mio tempo ovviamente non solo all'analisi, ma anche ad altre materie. Non mi fossilizzo solo su analisi 1.

___________________________________________
Ho 'aperto' il primo quaderno degli appunti e la 'proprietà della densità' la spiega così:
$Q$ è denso in $RR$ per ogni $a,b$ appartenente ad $R$ esiste un $r$ appartenente a $Q$ tale che: $a dove $r$ è un numero reale
si prende: $(a+b)/2$ che nessuno mi garantisce che sia razionale

$a<(a+b)/2
$a
$a+a
$2a
$a<(b+a)/2$ ci fa capire che in mezzo a dure reali c'è sempre un razionale

______________________________________
Rappresentazione geometrica dei numeri reali
Proposizione: Si parla sempre di retta reale.

Dimostrazione geometrica:
Presa una retta:
________________$P^-$______$O$__$P*$ __$P$_____$P'$_________________________________

$0$ appartiene a $Z$ (relativo) e lo mettiamo con la lettera $O$

$1$ appartiene a $N$ (naturale) e lo mettiamo con la lettera $P$

$2$ appartiene a $N$ (naturale) e lo mettiamo con la lettera $P'$

$1/2$ razionale è $OP/2$ ovvero $2*0P*=0P$ e dunque si ha $(OP*)/(OP)=1/2$

con questa logica sistemiamo tutti i numeri sulla retta.

Con i negativi uso la stessa logica: lavorando sugli opposti.

Arrivati a questo punto, invece di dire $P,P',P''...$ li identifico con $1,2....$ cioè vado ad identificare i numeri della retta con i numeri razionali.

Alla domanda: i razionali riempiono la retta? No, perchè lasciano dei buchi riempiti dai numeri reali

$L=sqrt(2)$ è non razionale.

Poniamo in genere: $x=0$ corrispondente all'origine, se poniamo $P$ positivo allora $OP=x$ e se $x$ è negativo farò corrispondere quel segmento proprio a $-x$.
______________________________________
Sistema dei numeri reali (sempre dagli appunti)
Proposizione: Il campo dei reali è totalmente ordinato.
abbiamo la quaterna: $(RR;+;*;<=)$
Si hanno le seguenti proprietà:

1) $x+y=y+x$ commutativa
2) $(x+y)+z=x+(y+z)$ associativa
3) esiste ed è unico $0$ appartenente ad $RR$: $x+0=x$ elemento nullo
4) se $x+x'=0$ $x'$ è opposto ad $x$ e $x+(-x)=0$
5) $x*y=y*x$
6) $(xy)z=x(yz)$
7) esiste $1$ in $RR$ tale che $x*1=x$
8) preso $RR-(0)$ c'è un $x''$ tale che $x*x''=1$ allora $x^-1$ $(1/x)*x=1$
9) $x(y+z)=xy+xz$ distribuitiva
10) $x<=y$ c'è un $c$ in $RR$ tale che $x+c<=y+c$
11) $x>=0$, $y>=0$ tale che $x*y>=0$ cioè ancora positivo
12) Dedekind: presi due insiemi $A$ e $B$ sono separati se $(A,B)$ sezione di $RR$ allora c'è un $c$ che è l'elemento separatore tale che: $a<=c<=b$
Ogni sezione di $RR$ ammette un unico elemento separatore.