Sottoinsiemi misurabili
Buongiorno a tutti,
non riesco a risolvere il seguente quesito che si articola in 4 punti..spero che qualcuno riuscirà ad aiutarmi!
Sia A=[1,8]x[2,3].Provare che se v è una funzione continua e positiva da R^2 in R, allora esistono D1 e D2 sottoinsiemi misurabili in A tali che
1)D1 intersecato D2 ha misura nulla
2)D1 unione D2 = A
3) l'integrale di v su D1 è uguale all'integrale di v su D2
Grazie in anticipo
Un saluto
non riesco a risolvere il seguente quesito che si articola in 4 punti..spero che qualcuno riuscirà ad aiutarmi!
Sia A=[1,8]x[2,3].Provare che se v è una funzione continua e positiva da R^2 in R, allora esistono D1 e D2 sottoinsiemi misurabili in A tali che
1)D1 intersecato D2 ha misura nulla
2)D1 unione D2 = A
3) l'integrale di v su D1 è uguale all'integrale di v su D2
Grazie in anticipo
Un saluto
Risposte
L'esercizio può essere risolto in molti modi diversi.
Ad esempio, per ogni \(t\in [1,8]\) puoi definire l'insieme
\[
A_t := [1,t]\times [2,3].
\]
La funzione \(\varphi(t) := \iint_{A_t} v\) è continua in \([1,8]\), \(\varphi(1) = 0\) e \(\varphi(8) = \iint_A v\).
Ti basta ora dimostrare che esiste un valore \(t_0 \in (1,8)\) tale che \(\varphi(t_0) = \frac{1}{2} \iint_A v\) e concludere.
Ad esempio, per ogni \(t\in [1,8]\) puoi definire l'insieme
\[
A_t := [1,t]\times [2,3].
\]
La funzione \(\varphi(t) := \iint_{A_t} v\) è continua in \([1,8]\), \(\varphi(1) = 0\) e \(\varphi(8) = \iint_A v\).
Ti basta ora dimostrare che esiste un valore \(t_0 \in (1,8)\) tale che \(\varphi(t_0) = \frac{1}{2} \iint_A v\) e concludere.
Non sono sicura di aver capito bene cosa intendi. Per quale motivo poni la funzione uguale all'integrale di v su A(t)? Il procedimento da te illustrato dimostra quale dei 3 punti dell'esercizio?
Scusa e grazie mille per la risposta
Scusa e grazie mille per la risposta
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