SOTTOINSIEMI DI FUNZIONI
Non ho capito questo esercizio, si dovrebbe dimostrare per ciascuna opzione quale sottoinsieme forma un sottospazio vettoriale e perchè i rimanenti sottoinsiemi non lo formano...qualcuno è cortesemente disposto ad aiutarmi? 
Sia H lo spazio vettoriale di tutte le funzioni f[x] : R -> R
Determinare quale dei seguenti sottoinsiemi di funzioni di H forma un sottospazio vettoriale
f[x^2] = f[x]^2
f[0] = f[1]
f[0] = f[1] + 2
f[-1] = 0
f[-x] = -f[x]
Sia H lo spazio vettoriale di tutte le funzioni f[x] : R -> R
Determinare quale dei seguenti sottoinsiemi di funzioni di H forma un sottospazio vettoriale
f[x^2] = f[x]^2
f[0] = f[1]
f[0] = f[1] + 2
f[-1] = 0
f[-x] = -f[x]
Risposte
intuitivamente, definiranno dei sottospazi quei sottoinsiemi definiti tramite condizioni lineari (somme, moltiplicazioni per uno scalare) e omogenee (senza somme di uno scalare non nullo).
Premesso questo, l'idea è che restino esclusi i casi 1) e 3) in quanto non sono definiti tramite condizioni lineari. E che invece gli altri casi definiscano sottospazi vettoriali. Questa è l'idea di base. Bisogna ora verificare se è corretta. Vediamo ad esempio il primo caso. Sia $f$ tale che $f(x^2)=f^2(x)$ e sia $a\inRR$ e $g(x)=af(x)$. Osserviamo allora che $g(x^2)=af(x^2)=af^2(x)$. D'altra parte $g^2(x)=a^2f^2(x)$. Per cui, non appena $a\ne 1,-1$, il sottoinsieme in questione non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per lo scalare $a$. Ne segue che esso non può essere uno spazio vettoriale, come si era intuito.
...
Per il resto
...
Buon Lavoro
Premesso questo, l'idea è che restino esclusi i casi 1) e 3) in quanto non sono definiti tramite condizioni lineari. E che invece gli altri casi definiscano sottospazi vettoriali. Questa è l'idea di base. Bisogna ora verificare se è corretta. Vediamo ad esempio il primo caso. Sia $f$ tale che $f(x^2)=f^2(x)$ e sia $a\inRR$ e $g(x)=af(x)$. Osserviamo allora che $g(x^2)=af(x^2)=af^2(x)$. D'altra parte $g^2(x)=a^2f^2(x)$. Per cui, non appena $a\ne 1,-1$, il sottoinsieme in questione non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per lo scalare $a$. Ne segue che esso non può essere uno spazio vettoriale, come si era intuito.
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Per il resto
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Buon Lavoro
Ti ringrazio per l'input 
, perlomeno ora ho una base da cui partire, proverò adesso a verificare le altre ipotesi....grazie!
, perlomeno ora ho una base da cui partire, proverò adesso a verificare le altre ipotesi....grazie!
ma verificare che sia chiuso rispetto alla moltiplicazione per lo scalare a è quindi sufficiente per dimostrare che è un sottospazio?
o devo aggiungere altre propietà?
o devo aggiungere altre propietà?
"albertmetod":
ma verificare che sia chiuso rispetto alla moltiplicazione per lo scalare a è quindi sufficiente per dimostrare che è un sottospazio?
o devo aggiungere altre propietà?
Se $X$ è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $Y$ basta dimostrare la chiusura rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare per dimostrare che è un sottospazio.
ok grazie millle!
la dimostrazione che è un sottospazio quindi si fa quindi verificando la chiusura rispetto sia alla somma che al prodotto
anzi, rimane il dubbio.
la chiusura rispetto alla moltilpicazione in qualche modo l'ho fatta, ma quella alla somma non la so fare
anzi, rimane il dubbio.
la chiusura rispetto alla moltilpicazione in qualche modo l'ho fatta, ma quella alla somma non la so fare
"ubermensch":
intuitivamente, definiranno dei sottospazi quei sottoinsiemi definiti tramite condizioni lineari (somme, moltiplicazioni per uno scalare) e omogenee (senza somme di uno scalare non nullo).
Premesso questo, l'idea è che restino esclusi i casi 1) e 3) in quanto non sono definiti tramite condizioni lineari. E che invece gli altri casi definiscano sottospazi vettoriali. Questa è l'idea di base. Bisogna ora verificare se è corretta. Vediamo ad esempio il primo caso. Sia $f$ tale che $f(x^2)=f^2(x)$ e sia $a\inRR$ e $g(x)=af(x)$. Osserviamo allora che $g(x^2)=af(x^2)=af^2(x)$. D'altra parte $g^2(x)=a^2f^2(x)$. Per cui, non appena $a\ne 1,-1$, il sottoinsieme in questione non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per lo scalare $a$. Ne segue che esso non può essere uno spazio vettoriale, come si era intuito.
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Per il resto
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Buon Lavoro
E' vero come si fa a dimostrare che un sottoinsieme non è chiuso rispetto alla somma di uno scalare $a$?
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