Sottoinsieme infinito di un insieme continuo
Il mio è un problema piuttosto... particolare. Già si nota dal fatto che io qui parlo di "probabilità", però l'ho comunque messo nella sezione di Algebra perché il fatto che la probabilità c'entri è solo una mia assunzione: in realtà il problema è algebrico in quanto tratta la cardinalità dl alcuni insiemi, e mi servirebbe sapere come posso dedurre da questi alcune informazioni (che solo "forse" possono essere informazioni di tipo probabilistico).
Allora... stavo studiando un certo insieme che so avere la stessa cardinalità dei reali ($|RR|$); però a me non interessava tutto l'insieme: mi interessava soltanto un certo sottoinsieme, infinito, di questo insieme. All'inizio pensavo che il sottoinsieme a cui ero interessato fosse di un'infinità numerabile, ma inaspettatamente ho scoperto che in realtà aveva anch'esso la cardinalità del continuo. Ora, fin qui nessun problema, no? Anche $RR$ stesso ha sottoinsiemi propri con la sua stessa cardinalità. Il problema è che a me interessava il concetto di... "probabilità", appunto. Ovvero, supponendo di avere un cestone con tutti gli elementi di $RR$ (cardinalità del continuo), quant'è la probabilità di pescare un elemento che appartiene ad un sottoinsieme di $RR$, anch'esso con la cardinalità del continuo?
Mi spiego meglio... noi sappiamo, ad esempio, che $RR^+$ e $[0,1]$ sono sottoinsiemi di $RR$, e hanno la sua stessa cardinalità, ovvero quella del continuo. Eppure... "probabilisticamente" parlando, non sarebbe possibile ordinarli? Perché a me sembrerebbe intuitivo dire che è più facile pescare un elemento di $RR^+$ che uno di $[0,1]$, ad esempio; e mentre per il secondo comunque non riuscirei a immaginare un numero che ne esprima la probabilità, per $RR^+$ già riesco a pensare che questa sia qualcosa... "vicina" a $0.5$. Questo è il problema che ho: vorrei avere le stesse intuizioni, sempre che siano corrette, anche per il mio insieme $X$ che non sono i reali, ma che ha la stessa loro cardinalità, cosiccome il suo sottoinsieme che mi interessa. Se il sottoinsieme fosse stato numerabile, conoscevo già la risposta: matematicamente parlando, se ad esempio il mio sottoinsieme è $QQ$, so già che quasi certamente l'elemento che pesco non appartiene a $QQ$, ma ad $RR \\ QQ$: questo perché i razionali sono numerabili mentre $RR$ no (ancora, sempre che ciò che dico è giusto).
Spero che qualcuno capisca cosa intendo... io in $RR$ riesco a vedere questa sorta di "probabilità intuitiva", e spero che già su questo qualcuno possa smentirmi direttamente se magari è sbagliato anche il solo fatto di pensare ciò. Il mio problema è riportare questo al mio caso originario: ho un insieme $X$ continuo, e un suo sottoinsieme $Y$ con la stessa cardinalità, quindi del continuo pure lui. Posso dire con certezza qual è la probabilità di estrarre un elemento di $Y$ pescando da un'urna con gli elementi di $X$, o almeno posso fissare dei "paletti" come ho fatto con $RR$ per cui posso dire che, "più o meno", quell'evento è più probabile o meno di un altro?
Allora... stavo studiando un certo insieme che so avere la stessa cardinalità dei reali ($|RR|$); però a me non interessava tutto l'insieme: mi interessava soltanto un certo sottoinsieme, infinito, di questo insieme. All'inizio pensavo che il sottoinsieme a cui ero interessato fosse di un'infinità numerabile, ma inaspettatamente ho scoperto che in realtà aveva anch'esso la cardinalità del continuo. Ora, fin qui nessun problema, no? Anche $RR$ stesso ha sottoinsiemi propri con la sua stessa cardinalità. Il problema è che a me interessava il concetto di... "probabilità", appunto. Ovvero, supponendo di avere un cestone con tutti gli elementi di $RR$ (cardinalità del continuo), quant'è la probabilità di pescare un elemento che appartiene ad un sottoinsieme di $RR$, anch'esso con la cardinalità del continuo?
Mi spiego meglio... noi sappiamo, ad esempio, che $RR^+$ e $[0,1]$ sono sottoinsiemi di $RR$, e hanno la sua stessa cardinalità, ovvero quella del continuo. Eppure... "probabilisticamente" parlando, non sarebbe possibile ordinarli? Perché a me sembrerebbe intuitivo dire che è più facile pescare un elemento di $RR^+$ che uno di $[0,1]$, ad esempio; e mentre per il secondo comunque non riuscirei a immaginare un numero che ne esprima la probabilità, per $RR^+$ già riesco a pensare che questa sia qualcosa... "vicina" a $0.5$. Questo è il problema che ho: vorrei avere le stesse intuizioni, sempre che siano corrette, anche per il mio insieme $X$ che non sono i reali, ma che ha la stessa loro cardinalità, cosiccome il suo sottoinsieme che mi interessa. Se il sottoinsieme fosse stato numerabile, conoscevo già la risposta: matematicamente parlando, se ad esempio il mio sottoinsieme è $QQ$, so già che quasi certamente l'elemento che pesco non appartiene a $QQ$, ma ad $RR \\ QQ$: questo perché i razionali sono numerabili mentre $RR$ no (ancora, sempre che ciò che dico è giusto).
Spero che qualcuno capisca cosa intendo... io in $RR$ riesco a vedere questa sorta di "probabilità intuitiva", e spero che già su questo qualcuno possa smentirmi direttamente se magari è sbagliato anche il solo fatto di pensare ciò. Il mio problema è riportare questo al mio caso originario: ho un insieme $X$ continuo, e un suo sottoinsieme $Y$ con la stessa cardinalità, quindi del continuo pure lui. Posso dire con certezza qual è la probabilità di estrarre un elemento di $Y$ pescando da un'urna con gli elementi di $X$, o almeno posso fissare dei "paletti" come ho fatto con $RR$ per cui posso dire che, "più o meno", quell'evento è più probabile o meno di un altro?
Risposte
beh se parli di probabilità bisogna parlare della relativa distribuzione e allora la probabilità che la variabila aleatoria continua X assuma il valore ESATTO X1 è 0 (l'insieme universo è infinito continuo). puoi solo, ritengo aspettando anche io conferme, associare alla tua variabile X una distribuzione di densità di probabilità (per esempio normale, con relativa media e varianza) e allora potrai trovare un valore finito che esprima la probabiltà che la tua variabile assuma valori COMPRESI tra, ad es 0 e 1. 
questo se ho ben compreso la tua domanda
ciao
questo se ho ben compreso la tua domanda ciao
Il tuo problema, posto decisamente male, sarebbe ascrivibile alla teoria della misura direi (di cui la teoria delle probabilità è un sottoinsieme proprio).
Non sono un esperto di logica e di cardinalità ma se tu consideri l'insieme delle parti di \(\mathbb{R}\) scoprirai che, fissato un punto \(r\in \mathbb{R}\), allora l'insieme dei sottoinsiemi di cardinalità continua che contiene \(r\) è più che continua (ha una cardinalità maggiore del continuo), l'insieme dei sottoinsiemi di cardinalità numerabile che contiene \(r\) ha la cardinalità del continuo e l'insieme dei sottoinsiemi finiti che contiene \(r\) è numerabile. A meno di errori di ragionamento le cardinalità dovrebbero essere quelle, ma come dico non sono un esperto e ci ho pensato poco.
Direi che dovresti leggerti qualcosa sull'esistenza di insiemi non misurabili...
In ogni caso
[xdom="vict85"]Sposto in Analisi matematica.[/xdom]
Non sono un esperto di logica e di cardinalità ma se tu consideri l'insieme delle parti di \(\mathbb{R}\) scoprirai che, fissato un punto \(r\in \mathbb{R}\), allora l'insieme dei sottoinsiemi di cardinalità continua che contiene \(r\) è più che continua (ha una cardinalità maggiore del continuo), l'insieme dei sottoinsiemi di cardinalità numerabile che contiene \(r\) ha la cardinalità del continuo e l'insieme dei sottoinsiemi finiti che contiene \(r\) è numerabile. A meno di errori di ragionamento le cardinalità dovrebbero essere quelle, ma come dico non sono un esperto e ci ho pensato poco.
Direi che dovresti leggerti qualcosa sull'esistenza di insiemi non misurabili...
In ogni caso
[xdom="vict85"]Sposto in Analisi matematica.[/xdom]
La probabilità non c'entra un tubo; anzi, probabilisticamente parlando, il problema non ha senso (perché non hai descritto alcun problema probabilistico, come diceva silov).
Inoltre, se il problema avesse senso, ciò che genera la tua granitica certezza:
ti direbbe anche come comportarti nel caso in esame.
Quindi, o precisi i contorni del problema, o è meglio che lasci perdere.
Inoltre, se il problema avesse senso, ciò che genera la tua granitica certezza:
"M1313":
matematicamente parlando, se ad esempio il mio sottoinsieme è $ QQ $, so già che quasi certamente l'elemento che pesco non appartiene a $ QQ $, ma ad $ RR \\ QQ $: questo perché i razionali sono numerabili mentre $ RR $ no
ti direbbe anche come comportarti nel caso in esame.
Quindi, o precisi i contorni del problema, o è meglio che lasci perdere.
D'accordo, spiegherò meglio quali sono i termini del problema... ma non è che non volessi farlo prima perché pensassi di aver scoperto chissà cosa e volessi tenere tutto riservato, anzi: la mia domanda mostra proprio come io sia in alto mare.
Però... pensavo che se avessi detto tutto chiaramente fin dall'inizio, poi alla fine avrei finito per trovare la risposta qui e mi sarei rovinato il piacere di trovarla da solo
Però mi serviva comunque un piccolo input, dunque...
In ogni caso, stavo studiando $Sym(NN)$, l'insieme di tutte le corrispondenze biunivoche da $NN$ in sé. Se non sbaglio, questo insieme dovrebbe avere la cardinalità del continuo; però come dicevo a me non interessava tutto l'insieme: dato che $Sym(NN)$ è un gruppo, visto come tale a me interessava il sottoinsieme di tutte le funzioni che avessero periodo finito, intendendo come "periodo di un elemento" proprio quello che si intende come tale in teoria dei gruppi. Il punto è che io immaginavo che questo sottoinsieme fosse numerabile e invece sembra (lo sottolineo perché la cosa l'ho notata io, non ho trovato conferme altrove, quindi può pure essere benissimo... errata) che anche questo sottoinsieme abbia la cardinalità del continuo.
Io ero interessato al problema di "quante" fossero le funzioni con periodo finito rispetto a "tutte" le biunivocità dei naturali in sé stessi, ma mi rendo conto che il problema è ostico visto che i due insiemi sono entrambi infiniti. Avrei però liquidato subito il problema se almeno quest'ultimo fosse stato numerabile, perché avrei già saputo dire, anche intuitivamente, che le funzioni periodiche sono "decisamente molto meno" del totale se sono sottoinsieme di un insieme con cardinalità infinita superiore. Invece sembra che entrambi abbiano la cardinalità del continuo e quindi non so come giostrare la situazione. Ho fatto l'esempio con $RR$ perché lì, pur avendo l'insieme totale e un suo sottoinsieme della stessa cardinalità, riesco comunque ad avere un'idea intuitiva del "quanti sono" gli elementi del sottoinsieme rispetto al totale, mentre qui non ne ho idea.
Comunque mi scuso per la sezione sbagliata, ovviamente ^^
Nessuna delle mie certezze è granitica, purtroppo, anche perché spesso e volentieri scopro di sbagliare anche in cose che ritenevo ovvie ^^'''' Senza contare che sebbene io non scriva quasi mai, seguo il forum da anni e anni e conosco le tue risposte perfette e precise senza alcun errore nel 99,9999999999% dei casi.
[size=75]Dunque sicuramente nessuna delle mie certezze sarà così fissa se mi dici che sbaglio[/size] Anche perché, appunto, ho poca fiducia nelle mie capacità nel saper affrontare un problema, anche come questo... 
Però... pensavo che se avessi detto tutto chiaramente fin dall'inizio, poi alla fine avrei finito per trovare la risposta qui e mi sarei rovinato il piacere di trovarla da solo
Però mi serviva comunque un piccolo input, dunque...In ogni caso, stavo studiando $Sym(NN)$, l'insieme di tutte le corrispondenze biunivoche da $NN$ in sé. Se non sbaglio, questo insieme dovrebbe avere la cardinalità del continuo; però come dicevo a me non interessava tutto l'insieme: dato che $Sym(NN)$ è un gruppo, visto come tale a me interessava il sottoinsieme di tutte le funzioni che avessero periodo finito, intendendo come "periodo di un elemento" proprio quello che si intende come tale in teoria dei gruppi. Il punto è che io immaginavo che questo sottoinsieme fosse numerabile e invece sembra (lo sottolineo perché la cosa l'ho notata io, non ho trovato conferme altrove, quindi può pure essere benissimo... errata) che anche questo sottoinsieme abbia la cardinalità del continuo.
Io ero interessato al problema di "quante" fossero le funzioni con periodo finito rispetto a "tutte" le biunivocità dei naturali in sé stessi, ma mi rendo conto che il problema è ostico visto che i due insiemi sono entrambi infiniti. Avrei però liquidato subito il problema se almeno quest'ultimo fosse stato numerabile, perché avrei già saputo dire, anche intuitivamente, che le funzioni periodiche sono "decisamente molto meno" del totale se sono sottoinsieme di un insieme con cardinalità infinita superiore. Invece sembra che entrambi abbiano la cardinalità del continuo e quindi non so come giostrare la situazione. Ho fatto l'esempio con $RR$ perché lì, pur avendo l'insieme totale e un suo sottoinsieme della stessa cardinalità, riesco comunque ad avere un'idea intuitiva del "quanti sono" gli elementi del sottoinsieme rispetto al totale, mentre qui non ne ho idea.
Comunque mi scuso per la sezione sbagliata, ovviamente ^^
"gugo82":
Inoltre, se il problema avesse senso, ciò che genera la tua granitica certezza [...]
Nessuna delle mie certezze è granitica, purtroppo, anche perché spesso e volentieri scopro di sbagliare anche in cose che ritenevo ovvie ^^'''' Senza contare che sebbene io non scriva quasi mai, seguo il forum da anni e anni e conosco le tue risposte perfette e precise senza alcun errore nel 99,9999999999% dei casi.
[size=75]Dunque sicuramente nessuna delle mie certezze sarà così fissa se mi dici che sbaglio
[/size] Anche perché, appunto, ho poca fiducia nelle mie capacità nel saper affrontare un problema, anche come questo...
Sinceramente, non vedo dove sia il problema... Ti sei risposto da solo.
Se il sottoinsieme \(U\) di \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\) che stai considerando ha la stessa potenza di \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\), essi sono indistinguibili dal punto di vista della cardinalità e perciò non ha senso chiedersi quale dei due insiemi sia "più grande" dell'altro.
Per fare una distinzione sensata di grandezza tra \(U\) e \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\) devi ricorrere a qualche altro concetto di "grandezza", meno rozzo di quello (puramente insiemistico) che usano gli algebristi.
Ad esempio, puoi ricorrere a qualche "misura di grandezza" di carattere topologico (à la Baire), oppure a qualche "misura di grandezza" di carattere measure-theoretic.
Tuttavia, non so né se nello spazio ambiente \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\) sia possibile introdurre una topologia sensata (in modo da definire gli insiemi di prima e seconda categoria à la Baire), né se sia possibile inrodurre una struttura sensata di spazio di misura (eventualmente con la misura limitata, in modo da confrontare le misure di \(U\) e \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\)).
Se il sottoinsieme \(U\) di \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\) che stai considerando ha la stessa potenza di \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\), essi sono indistinguibili dal punto di vista della cardinalità e perciò non ha senso chiedersi quale dei due insiemi sia "più grande" dell'altro.
Per fare una distinzione sensata di grandezza tra \(U\) e \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\) devi ricorrere a qualche altro concetto di "grandezza", meno rozzo di quello (puramente insiemistico) che usano gli algebristi.
Ad esempio, puoi ricorrere a qualche "misura di grandezza" di carattere topologico (à la Baire), oppure a qualche "misura di grandezza" di carattere measure-theoretic.
Tuttavia, non so né se nello spazio ambiente \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\) sia possibile introdurre una topologia sensata (in modo da definire gli insiemi di prima e seconda categoria à la Baire), né se sia possibile inrodurre una struttura sensata di spazio di misura (eventualmente con la misura limitata, in modo da confrontare le misure di \(U\) e \(\operatorname{Sym}(\mathbb{N})\)).
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