Sottoinsieme di N superiormente limitato
Devo dimostrare che
se $M ⊂ N$ è non vuoto e superiormente limitato, allora ha massimo.
Un insieme $M$ si dice superiormente limitato in $N$ se
esiste $k ∈ N$ tale che $∀x ∈ M$ e $x ≤ k$
Consideriamo questa proposizione:
$P(n)$ : esiste un $x ∈ M$ tale che $x ≥ n$
Ovviamente $P(0)$ è verà: ogni numero naturale è maggiore di $0$, e questo
vale anche per $x$: $x>=0$
Questo però non è vero $AA n in NN$: Infatti se $m in M$, non vale $P(m')$, cioè
non può essere $(∀x ∈ M, x ≥ m')$, $m ∈ M$ e vale $m < m'$. Pertanto non è vero che $ AA n in NN$ $P(n) rArr P(n')$
Allora esiste un $k in NN$ tale che $P(k)$ è vera e $P(k')$ è falsa.
$P(k)$ vera significa che $∀x ∈ M$ è $x≤ k$.
$P(k')$ falsa significa che la negazione della proposizione P(k') è vera, cioè $x
Dunque esiste$ x in M$ tale che $x ≤ k
Non esistendo alcun elemento $x ∈ N$ strettamente compreso tra $n$ e $n'$, $x = k$ è il massimo di $M$
Cosa ne pensate? Grazie
se $M ⊂ N$ è non vuoto e superiormente limitato, allora ha massimo.
Un insieme $M$ si dice superiormente limitato in $N$ se
esiste $k ∈ N$ tale che $∀x ∈ M$ e $x ≤ k$
Consideriamo questa proposizione:
$P(n)$ : esiste un $x ∈ M$ tale che $x ≥ n$
Ovviamente $P(0)$ è verà: ogni numero naturale è maggiore di $0$, e questo
vale anche per $x$: $x>=0$
Questo però non è vero $AA n in NN$: Infatti se $m in M$, non vale $P(m')$, cioè
non può essere $(∀x ∈ M, x ≥ m')$, $m ∈ M$ e vale $m < m'$. Pertanto non è vero che $ AA n in NN$ $P(n) rArr P(n')$
Allora esiste un $k in NN$ tale che $P(k)$ è vera e $P(k')$ è falsa.
$P(k)$ vera significa che $∀x ∈ M$ è $x≤ k$.
$P(k')$ falsa significa che la negazione della proposizione P(k') è vera, cioè $x
Cosa ne pensate? Grazie
Risposte
Qualcuno può dare un'occhiata? Scusatemi e grazie
"Alin":
Ovviamente $P(0)$ è verà: ogni numero naturale è maggiore di $0$, e questo
vale anche per $x$: $x>=0$
Non si capisce chi sia $x$.
non vale $P(m')$, cioè non può essere $(∀x ∈ M, x ≥ m')$, $m ∈ M$ e vale $m < m'$.
Però $P$ è un'altra cosa, il resto è da rivedere alla luce di questo.
Grazie $otta96$ Provo a modificare qualcosa:
se $ M ⊂ NN $ è non vuoto e superiormente limitato, allora ha massimo.
Un insieme $ M $ si dice superiormente limitato in $ N $ se
esiste $ k ∈ N $ tale che $ ∀x ∈ M $ e $ x ≤ k $
Consideriamo questa proposizione:
$ P(n) $ : esiste un $ k∈ M $ tale che $ k ≥ n $
Ovviamente $ P(0) $ è verà: ogni numero naturale è maggiore di $ 0 $, e questo
vale anche per $ k in M sub NN $: cioè $ k>=0 $
Questo però non è vero $ AA n in NN $: Infatti ponendo $n'=k+1 in NN $, non vale
$ P(n') $: esiste un $ k∈ M $ tale che $ k ≥ n'=k+1$. Pertanto non è vero che $ AA n in NN $, $ P(n) rArr P(n') $
Allora esiste un $ k in NN $ tale che $ P(n) $ è vera e $ P(n') $ è falsa.
$ P(n) $ vera significa che $ ∀n ∈ M $ è $ n ≤ k $.
$ P(n') $ falsa significa che la negazione della proposizione$ P(n')$ è vera,
cioè $ k <=n'=k+1$
Dunque esiste $ x in M $ tale che $ k<=x<=k+1$
Non esistendo alcun elemento $ x ∈ NN $ strettamente compreso tra $ k$ e $ k+1$, $ x = k $ è il massimo di $ M $
Sembra più accettabile!
che ne pensi?
se $ M ⊂ NN $ è non vuoto e superiormente limitato, allora ha massimo.
Un insieme $ M $ si dice superiormente limitato in $ N $ se
esiste $ k ∈ N $ tale che $ ∀x ∈ M $ e $ x ≤ k $
Consideriamo questa proposizione:
$ P(n) $ : esiste un $ k∈ M $ tale che $ k ≥ n $
Ovviamente $ P(0) $ è verà: ogni numero naturale è maggiore di $ 0 $, e questo
vale anche per $ k in M sub NN $: cioè $ k>=0 $
Questo però non è vero $ AA n in NN $: Infatti ponendo $n'=k+1 in NN $, non vale
$ P(n') $: esiste un $ k∈ M $ tale che $ k ≥ n'=k+1$. Pertanto non è vero che $ AA n in NN $, $ P(n) rArr P(n') $
Allora esiste un $ k in NN $ tale che $ P(n) $ è vera e $ P(n') $ è falsa.
$ P(n) $ vera significa che $ ∀n ∈ M $ è $ n ≤ k $.
$ P(n') $ falsa significa che la negazione della proposizione$ P(n')$ è vera,
cioè $ k <=n'=k+1$
Dunque esiste $ x in M $ tale che $ k<=x<=k+1$
Non esistendo alcun elemento $ x ∈ NN $ strettamente compreso tra $ k$ e $ k+1$, $ x = k $ è il massimo di $ M $
Sembra più accettabile!

C'è qualcuno che può dare un'occhiata alla seconda parte? Adesso la dimosteazione è più chiara?Grazie