Sottoinsieme chiuso di $C^0[0,1]$
Forse è banale ma come faccio a dimostrare che l'insieme:
$K={f in C^0[0,1]: int_0^(1/2)f(t)dt-int_(1/2)^1f(t)dt=1}$
é chiuso in
$(C^0[0,1],||*||_infty)$
$(C^0[0,1],||*||_2)$
???
Nota: Io ho dimostrato che l'analogo sottinsieme di $L^2[0,1]$ definito dalla stessa relazione tra integrali è chiuso, e l'ho fatto scrivendolo come la preimmagine di 1 tramite prodotto scalare (fz continua) di $L^2$: $(*,chi)$ dove $chi$ è la funzione fissata $chi=chi_{\[0,1/2\] }-chi_{\[1/2,1\]}$, queste ultime funzioni indicatrici dei relativi intervalli. Non so se può essere utile per questo caso ma se lo è io non lo vedo.
Grazie.
$K={f in C^0[0,1]: int_0^(1/2)f(t)dt-int_(1/2)^1f(t)dt=1}$
é chiuso in
$(C^0[0,1],||*||_infty)$
$(C^0[0,1],||*||_2)$
???
Nota: Io ho dimostrato che l'analogo sottinsieme di $L^2[0,1]$ definito dalla stessa relazione tra integrali è chiuso, e l'ho fatto scrivendolo come la preimmagine di 1 tramite prodotto scalare (fz continua) di $L^2$: $(*,chi)$ dove $chi$ è la funzione fissata $chi=chi_{\[0,1/2\] }-chi_{\[1/2,1\]}$, queste ultime funzioni indicatrici dei relativi intervalli. Non so se può essere utile per questo caso ma se lo è io non lo vedo.
Grazie.
Risposte
Ripensandoci...
con Holder ottengo:
$|int_0^1 f chi dx|<=int_0^1 |f chi| dx <= ||f||_2||chi||_2<||f||_2$
e anche
$|int_0^1 f chi dx|<=int_0^1 |f chi| dx <= ||f||_infty||chi||_1<||f||_infty$
quindi il funzionale in questione è limitato anche in questi casi quindi continuo e quindi vale la stessa argomentazione che ho usato in $L^2$.
Sbaglio?
con Holder ottengo:
$|int_0^1 f chi dx|<=int_0^1 |f chi| dx <= ||f||_2||chi||_2<||f||_2$
e anche
$|int_0^1 f chi dx|<=int_0^1 |f chi| dx <= ||f||_infty||chi||_1<||f||_infty$
quindi il funzionale in questione è limitato anche in questi casi quindi continuo e quindi vale la stessa argomentazione che ho usato in $L^2$.
Sbaglio?
Per successioni non viene?
Ci ho pensato alle successioni. Dovrei dimostrare che
se $(f_n)$ è una successione di funzioni in K che converge ad f allora f è in K.
Ovvero devo dimostrare che f è continua e che verifica l'identità con i due integrali.
Ora per l'identità con i due integrali potrei provare con Lebesgue, tuttavia non riesco a immaginare come <> queste funzioni. E' vero che sono tutte limitate perchè continue su un compatto ma mi sembra che si possano costruire funzioni continue con sup grande quanto si vuole che stiano in K.
Poi come faccio per la continuità?
Il ragionamento che ho scritto prima è sbagliato?
Grazie.
se $(f_n)$ è una successione di funzioni in K che converge ad f allora f è in K.
Ovvero devo dimostrare che f è continua e che verifica l'identità con i due integrali.
Ora per l'identità con i due integrali potrei provare con Lebesgue, tuttavia non riesco a immaginare come <
Poi come faccio per la continuità?
Il ragionamento che ho scritto prima è sbagliato?
Grazie.
"Megan00b":
Ci ho pensato alle successioni. Dovrei dimostrare che
se $(f_n)$ è una successione di funzioni in K che converge ad f allora f è in K.
Ovvero devo dimostrare che f è continua e che verifica l'identità con i due integrali.
Ora per l'identità con i due integrali potrei provare con Lebesgue, tuttavia non riesco a immaginare come <> queste funzioni. E' vero che sono tutte limitate perchè continue su un compatto ma mi sembra che si possano costruire funzioni continue con sup grande quanto si vuole che stiano in K.
Poi come faccio per la continuità?
Il ragionamento che ho scritto prima è sbagliato?
Grazie.
A me pare che il tuo ragionamento precedente fosse corretto.
Piu' precisamente se definisci
$T(f)=\int_0^{1/2}f(t)dt-\int_{1/2}^1f(t)dt$
dimostri facilmente che $|T(f)|leq 2||f||_{L^1}$, e quindi ${T(f)=1}$ e' chiuso in $L_1$.
Dopo di che usando Hoelder $||f||_1\leq||f||_2\leq ||f||_\infty$ (siamo in $[0,1]$) e quindi l'insieme e' a maggior ragione chiuso in $L_2$ e in $L^\infty$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo