Sostituzione infinitesimi
Ciao a tutti!
Mi servirebbe una mano con questo limite, perchè non riesco proprio ad uscirne!!
Sostanzialmente l'esercizio chiede di utilizzare Hopital e il principio di sostituzione degli infinitesimi.
$\lim_{x \to \0}[6sinx - 6x + x^2 ln(x+1)]/x^4$
Io ho ragionato in questo modo:
$6sinx$ e $6x$ sono infinitesimi per $x \to \0$ di ordine $\alpha=1$.
Mentre invece $x^2 ln(x+1)$ è un infinitesimo per $x \to \0$ sicuramente di ordine $\alpha>1$
A questo punto, applicando il principio di sostituzione (o eliminazione: vedo che spesso i docenti scambiano erroneamente il termine) degli infinitesimi, posso eliminare quello di grado superiore, trasformando il limite in:
$\lim_{x \to \0}[6sinx - 6x]/x^4$
Ma alla fine ottengo come risultato sempre un $\infty$, mentre la soluzione dell'esercizio risulta essere $-1/2$
Non riesco proprio a venirne a capo.. Help pls
Mi servirebbe una mano con questo limite, perchè non riesco proprio ad uscirne!!
Sostanzialmente l'esercizio chiede di utilizzare Hopital e il principio di sostituzione degli infinitesimi.
$\lim_{x \to \0}[6sinx - 6x + x^2 ln(x+1)]/x^4$
Io ho ragionato in questo modo:
$6sinx$ e $6x$ sono infinitesimi per $x \to \0$ di ordine $\alpha=1$.
Mentre invece $x^2 ln(x+1)$ è un infinitesimo per $x \to \0$ sicuramente di ordine $\alpha>1$
A questo punto, applicando il principio di sostituzione (o eliminazione: vedo che spesso i docenti scambiano erroneamente il termine) degli infinitesimi, posso eliminare quello di grado superiore, trasformando il limite in:
$\lim_{x \to \0}[6sinx - 6x]/x^4$
Ma alla fine ottengo come risultato sempre un $\infty$, mentre la soluzione dell'esercizio risulta essere $-1/2$
Non riesco proprio a venirne a capo.. Help pls
Risposte
Sbagli... E' vero che $6sin(x)$ e $6x$ sono infinitesimi del prim'ordine, ma la loro differenza è un infinitesimo di ordine superiore al primo (di ordine 3 per essere precisi); dello stesso ordine di $x^2 ln( 1 + x)$.
Ah! Quindi il principio si può usare in pratica solo quando si considerano 2 funzioni e non più di 2?
Nel senso ad esempio qui una funzione è 6sinx - 6x (tutto insieme); ho capito bene?
Nel senso ad esempio qui una funzione è 6sinx - 6x (tutto insieme); ho capito bene?
Non è questa la regola. Riporta l'enunciato del teorema (principio) di sostituzione degli infinitesimi equivalenti...
"Demostene92":
Ah! Quindi il principio si può usare in pratica solo quando si considerano 2 funzioni e non più di 2.
Se fosse così allora avresti che $lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x^3 = lim_(x -> 0) x/x^3 = lim_(x -> 0) 1/x^2 = +oo$ cosa che non è assolutamente vera. Infatti ti ho appena detto che la differenza a numeratore è di ordine $3$, quindi questo limite è finito ed è diverso da $0$.
Principio di sostituzione degli in nitesimi Siano f; g; h tre in finitesimi simultanei per
x che tende a xo e supponiamo che f sia di ordine superiore rispetto a g. Allora
$lim_(x->x_0)[f(x)+g(x)]/[h(x)] = lim_(x->x_0)[g(x)]/[h(x)]$
x che tende a xo e supponiamo che f sia di ordine superiore rispetto a g. Allora
$lim_(x->x_0)[f(x)+g(x)]/[h(x)] = lim_(x->x_0)[g(x)]/[h(x)]$
Come vedi non sei nella condizione giusta per applicare questo teorema. Infatti hai una somma di infinitesimi, sì, ma entrambi hanno lo stesso ordine ( $x^2 log( 1 + x )$ e $6 sin(x) - 6x$ ).
Prova sviluppare i polinomi di Taylor con il resto in termini di o-piccolo di $log( 1 + x)$ (basta arrestarsi al prim'ordine) e di $sin(x)$ (fino all'ordine 3). E' il modo migliore di rendersi conto di come vanno queste cose.
Prova sviluppare i polinomi di Taylor con il resto in termini di o-piccolo di $log( 1 + x)$ (basta arrestarsi al prim'ordine) e di $sin(x)$ (fino all'ordine 3). E' il modo migliore di rendersi conto di come vanno queste cose.
Ok.. Grazie!
Seneca ho provato a fare come dici e mi viene:
\(\displaystyle [6(x-\frac{x^3}{6} + o(x^3)) \)\(\displaystyle -6x + x^2 \)\(\displaystyle (x + o(x)) \)
e adesso cosa devo fare? come faccio a far venire \(\displaystyle - \frac{1}{2} \)?
\(\displaystyle [6(x-\frac{x^3}{6} + o(x^3)) \)\(\displaystyle -6x + x^2 \)\(\displaystyle (x + o(x)) \)
e adesso cosa devo fare? come faccio a far venire \(\displaystyle - \frac{1}{2} \)?
Non è finita qui... Come vedi a numeratore quel che resta è $o(x^3)$. Non hai abbastanza informazioni per calcolare quel limite perché da $lim_( x -> 0) o(x^3)/x^4$ non puoi concludere niente.
Allora è necessario "guadagnare" qualche informazione in più sul numeratore, sviluppando il logaritmo fino al secondo ordine e sviluppando il seno fino al quarto ordine (anche se nello sviluppo del seno quell' $o(x^3)$ è in realtà un $o(x^4)$, e quindi non aggiungi nessun termine allo sviluppo che hai già fatto).
Quel che troverai è che il numeratore è del tipo $a x^4 + o(x^4)$ dove $a$ è un certo coefficiente non nullo.
Allora è necessario "guadagnare" qualche informazione in più sul numeratore, sviluppando il logaritmo fino al secondo ordine e sviluppando il seno fino al quarto ordine (anche se nello sviluppo del seno quell' $o(x^3)$ è in realtà un $o(x^4)$, e quindi non aggiungi nessun termine allo sviluppo che hai già fatto).
Quel che troverai è che il numeratore è del tipo $a x^4 + o(x^4)$ dove $a$ è un certo coefficiente non nullo.
grazie infatti così viene:\(\displaystyle \frac{o(x^4) - \frac{x^4}{2} + o(x^4)}{x^4}\) = \(\displaystyle \frac{\frac{-x^4}{2} + o(x^4)}{x^4} \)
quindi si vede che fa \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) ma più precisamente perchè posso trascurare \(\displaystyle o(x^4) \)?
"davidedesantis":
quindi si vede che fa \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) ma più precisamente perchè posso trascurare \(\displaystyle o(x^4) \)?
Perché $lim_(x -> 0) - (x^4/2)/x^4 + lim_(x -> 0) (o(x^4))/x^4 = -1/2 + 0$
Mi hai illuminato! 
grazie mille!
ah una domanda: se il lim fosse stato per x che tende a più infinito? cosa succedeva? bisogna cambiare variabile? perchè?
grazie mille! ah una domanda: se il lim fosse stato per x che tende a più infinito? cosa succedeva? bisogna cambiare variabile? perchè?
Sarebbe cambiato tutto...
A numeratore avresti potuto trascurare tranquillamente diversi pezzi... Sarebbe rimasto solo $x^2 ln(x)$.
A numeratore avresti potuto trascurare tranquillamente diversi pezzi... Sarebbe rimasto solo $x^2 ln(x)$.
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