Sono disorientato da questo integrale definito
$int_(1)^(3) (4x^5-1)/(x^5+x+1)^2 dx$
Questo è l'integrale in questione, ho pravato varie tecniche: decomposizione, svolgere il quadrato, sostituzione, anche per parti; ma niente non riesco a risolverlo.
Riuscite a darmi una mano?
Questo è l'integrale in questione, ho pravato varie tecniche: decomposizione, svolgere il quadrato, sostituzione, anche per parti; ma niente non riesco a risolverlo.
Riuscite a darmi una mano?
Risposte
Sei sicuro di quella $x^5$ a denominatore?
Si, il testo è corretto
In realtà il polinomio a denominatore ha 5 radici (di cui 1 sola reale) esprimibili tramite radicali; il problema è che non sono proprio bellissime da maneggiare.
Comunque in teoria si risolve in fratti semplici.
Forse può aiutare: $x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$
Comunque in teoria si risolve in fratti semplici.
Forse può aiutare: $x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$
Dato che i fratti semplici sono improponibili, l'unica alternativa è supporre una soluzione del tipo $(P(x))/(x^5+x+1)$.
Prova così...
Prova così...
".Ruben.":
In realtà il polinomio a denominatore ha 5 radici (di cui 1 sola reale) esprimibili tramite radicali; il problema è che non sono proprio bellissime da maneggiare.
Comunque in teoria si risolve in fratti semplici.
Forse può aiutare: $x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$
Come dovrei continuare poi? Non idea di come si possa fare
".Ruben.":
Dato che i fratti semplici sono improponibili, l'unica alternativa è supporre una soluzione del tipo $(P(x))/(x^5+x+1)$.
Prova così...
Non credo possa anche perchè è un integrale definito quindi devo arrivare a un risultato numerico
usando il metodo Ostrogradsky ottengo
$int_(1)^(3)(4x^5-1)/(x^5+x+1)^2 dx = -x/(x^5+x+1)]_(1)^(3)=(238)/(741)$
"cooper":
usando il metodo Ostrogradsky ottengo
$int_(1)^(3)(4x^5-1)/(x^5+x+1)^2 dx = -x/(x^5+x+1)]_(1)^(3)=(238)/(741)$
Caspita, non ne avevo mai sentito parlare, il risultato è comunque corretto! Grazie mille sei stato di grande aiuto
!
di nulla
Curiosità: qual è la fonte dell'esercizio? Un libro? Dispense in rete? Quali?
vi ripasso la palla con un'altro integrale definito
$∫_(0)^(pi/2) cosx/(2-sin(2x))$
$∫_(0)^(pi/2) cosx/(2-sin(2x))$
sei sicuro del testo e degli estremi di integrazione?
Tentativi tuoi?
"gugo82":
Curiosità: qual è la fonte dell'esercizio? Un libro? Dispense in rete? Quali?
"gugo82":[/quote]
Tentativi tuoi?
[quote="gugo82"]Curiosità: qual è la fonte dell'esercizio? Un libro? Dispense in rete? Quali?
questi esercizi li ho trovati in un PDF di un libro russo di esercizi sugli integrali; alcuni sono semplice mentre altri sono proprio difficili come questo. Ho provato a trasformare $sin(2x)$ in $2sin(x)cos(x)$ e poi applicare la sostituzione con le formule parametriche però esce une denominatore assurdo che non saprei gestire
Ok sono finalmente riuscito a risolverlo! Con la giusta sostituzione di semplifica di brutto!
\begin{align}
I &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-\sin{2x}}dx \\
&= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-2 \sin x \cos x}dx \\
&= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+\cos^2 x -2 \sin x \cos x + \sin^2 x}dx \\
&= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\
\end{align}
Ho notato a questo punto che se ci fosse stato a numeratore $cosx + sinx$ sarebbe diventato un integrale immediato, quindi ho fatto un cambio di variabile $x-> π/2-x$ in questo modo gli estremi di integrazione rimangono invariati così come il denominatore.
\begin{align}
2I &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx + \int_0^{\pi/2}\frac{\sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\
I &= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x} + \sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\
&= -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x} - \sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}\\
&= -\frac{1}{2}\arctan(\cos{x}-\sin{x})|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{\pi}{4}
\end{align}
I &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-\sin{2x}}dx \\
&= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{2-2 \sin x \cos x}dx \\
&= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+\cos^2 x -2 \sin x \cos x + \sin^2 x}dx \\
&= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\
\end{align}
Ho notato a questo punto che se ci fosse stato a numeratore $cosx + sinx$ sarebbe diventato un integrale immediato, quindi ho fatto un cambio di variabile $x-> π/2-x$ in questo modo gli estremi di integrazione rimangono invariati così come il denominatore.
\begin{align}
2I &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx + \int_0^{\pi/2}\frac{\sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\
I &= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x} + \sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}dx \\
&= -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\frac{\cos{x} - \sin{x}}{1+(\cos x - \sin x)^2}\\
&= -\frac{1}{2}\arctan(\cos{x}-\sin{x})|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{\pi}{4}
\end{align}
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