Somme di reali estesi

[marco.ve1]

Ciao
Definita la somma di una famiglia $(a_i)_{i \in I}$ come sup$\sum_{i \in A}a_i$ con $A \subset I, |A| \lt \infty$ se $a_i \in [0, +\infty] \forall i$ avrei un dubbio riguardo la dimostrazione della linearità.

Devo dimostrare che $\sum_{i \in I}(xa_i+ yb_i) \ge x\sum_{i \in I}a_i + y\sum_{i \in I}b_i$, io farei:
presi $A', A'' \subset I$ finiti si ha $\sum_{i \in I}(xa_i+ yb_i) \ge \sum_{i \in A' \cup A''}(xa_i+ yb_i) \ge x\sum_{i \in A'}(a_i) + y\sum_{i \in A''}(b_i)$ da cui la tesi essendo A' e A'' arbitrari tra i sottoinsiemi finiti di I.
Mi sembra corretto, a voi?

Nel mio testo invece fa questo:
posto $s_a = \sum_{i \in I}a_i$ e $s_b = \sum_{i \in I}b_i$ si fissi $r \lt xs_a + ys_b$ allora esistono $r_a < s_a$ e $r_b \lt s_b$ tali che $r = xs_a + ys_b$ (a patto che $(x,y) \ne (0,0)$), scelti $A_1, A_2 \subset I$ finiti per cui $\sum_{i \in A_1}a_i \gt r_a$ e $\sum_{i \in A_2}b_i \gt r_b$ si ha $\sum_{i \in I}(xa_i+ yb_i) \ge \sum_{i \in A_1 \cup A_2}(xa_i+ yb_i) \gt r$ da cui la tesi.

C'è qualche motivo particolare per fare questo giro più lungo?

[dissonance]

Mi sa che il tuo procedimento funziona solo se \(x\ge 0, y\ge 0\).

[marco.ve1]

Si mi son dimenticato di scriverlo, grazie della risposta