Sommatorie
Ciao a tutti!
Qualcuno sa forse dimostrare questa diseguaglianza?
$\sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2 * sum_{i=1}^n (z_i-y_i)^2 >= (sum_{i=1}^n (x_i-z_i)(z_i-y_i))^2$?
È un'ora che ci sbatto la testa contro e non riesco proprio ad uscirne! Ho anche provato a riscriverla in questo modo, ma risulta solo più semplice alla vista, certo non ai calcoli!
$\sum_{i=1}^n u_i^2 * sum_{i=1}^n v_i^2 >= (sum_{i=1}^n u_iv_i)^2$
Grazie mille a chiunque rispondere
Qualcuno sa forse dimostrare questa diseguaglianza?
$\sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2 * sum_{i=1}^n (z_i-y_i)^2 >= (sum_{i=1}^n (x_i-z_i)(z_i-y_i))^2$?
È un'ora che ci sbatto la testa contro e non riesco proprio ad uscirne! Ho anche provato a riscriverla in questo modo, ma risulta solo più semplice alla vista, certo non ai calcoli!
$\sum_{i=1}^n u_i^2 * sum_{i=1}^n v_i^2 >= (sum_{i=1}^n u_iv_i)^2$
Grazie mille a chiunque rispondere

Risposte
Grazie per il link. Il mio problema è che sto lavorando in uno spazio metrico non per forza normato, e quindi tale giustificazione non è definita e non è quindi valida. (O sbaglio?)
Come può la disuguaglianza che hai scritto avere senso in un generico spazio metrico? Vuoi perlomeno che la metrica sia indotta da un qualche tipo di prodotto scalare (anche pseudodefinito, ma non è la prassi, perché allora la topologia che ti è indotta dalla metrica non è affatto di Hausdorff), per dare senso a ciò che hai scritto.
Ti serve perlomeno una struttura di spazio vettoriale, nell'ambiente dove vivono le n-uple di scalari $(x_i)$, $(y_i)$ e $(z_i)$.
Ti serve perlomeno una struttura di spazio vettoriale, nell'ambiente dove vivono le n-uple di scalari $(x_i)$, $(y_i)$ e $(z_i)$.
Ti ringrazio molto per ciò che hai scritto: il problema era che questo esercizio viene subito dopo la definizione di spazio metrico, che viene subito dopo un primo capitolo introduttivo sugli spazi topologici. Dopo aver definito lo spazio metrico come uno spazio topologico con certe proprietà, veniva fatto l'esempio di $R^n$, con definita la distanza come $sum_(i=1)^{n} sqrt((x_i-y_i)^2)$. Da ciò ho provato a dimostrare le varie proprietà, tra le quali vi è la disuguaglianza triangolare. Il problema è che spazi normati, vettoriali e altro vengono dopo, quindi volevo usare solo ciò che già era presente prima di tale esercizietto, ovvero la sola parte di topologia. Speravo di riuscire a risolverlo usando solo i principi primi e le proprietà e definizioni già viste, speravo che mi stesse sfuggendo un qualche trucchetto algebrico sulle sommatorie o una qualche proprietà dei numeri reali a cui rifarmi per completare la dimostrazione... Purtroppo sono ancora all'inizio di queste dispense, e quindi forse troppe nozioni ancora mi mancano!
Non è che ti mancano, è che insisti a usare una definizione che è troppo generale per darti il risultato.
A maggior ragione, se questo esempio si trova a quel punto delle dispense che stai leggendo, la ragione per cui la disuguaglianza è vera è Cauchy-Schwarz. Tanto più che questo teoremino è esattamente il motivo per cui uno spazio normato soddisfa la disuguaglianza triangolare, sicché...

Grazie mille! Il tuo aiuto mi è stato molto utile.