Sommatoria Esercizio Integrale
Salve a tutti, un esercizio riportato come esempio al calcolo integrale propone di calcolare l'Area della funzione $f = x^2$ tramite definizione di Fermat o la somma di Cauchy-Riemann.
per definizione si divide l'intervallo in "sotto-rettangolini" $[0,1]$ in $n$ segmenti uguali di estremi $x_i = i/n$, $x_i+1 = (i+1)/n$, con $i=0,...,n-1$
(In questo caso il libro ne ha presi 7 per esempio)
Quindi l'Area risulta: $\sum_{i=1}^(n-1) 1/n * (i/n)^2$ = $1/(n^3) * \sum_{i=1}^(n-1) i^2$ = $((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
Ora non mi è chiaro l'ultimo passaggio di come $1/(n^3) * \sum_{i=1}^(n-1) i^2$ possa essere uguale a $((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
Il libro per capire meglio riporta un precedente esercizio dove:
$\sum_{k=1}^n k^2$ = $(n*(n+1)*(2n+1))/6$
Non mi entra proprio in testa questa uguaglianza, di quali proprietà o sviluppi sono applicati... grazie in anticipo!
Ah poi il libro fa tendere $n \to \infty$ e il risultato dell'area dell'esercizio preso come esempio sarebbe $1/3$
per definizione si divide l'intervallo in "sotto-rettangolini" $[0,1]$ in $n$ segmenti uguali di estremi $x_i = i/n$, $x_i+1 = (i+1)/n$, con $i=0,...,n-1$
(In questo caso il libro ne ha presi 7 per esempio)
Quindi l'Area risulta: $\sum_{i=1}^(n-1) 1/n * (i/n)^2$ = $1/(n^3) * \sum_{i=1}^(n-1) i^2$ = $((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
Ora non mi è chiaro l'ultimo passaggio di come $1/(n^3) * \sum_{i=1}^(n-1) i^2$ possa essere uguale a $((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
Il libro per capire meglio riporta un precedente esercizio dove:
$\sum_{k=1}^n k^2$ = $(n*(n+1)*(2n+1))/6$
Non mi entra proprio in testa questa uguaglianza, di quali proprietà o sviluppi sono applicati... grazie in anticipo!
Ah poi il libro fa tendere $n \to \infty$ e il risultato dell'area dell'esercizio preso come esempio sarebbe $1/3$
Risposte
Oh grazie mille! Non pensavo fosse un' uguaglianza notevole! Ora provo a dimostrarla, grazie ancora
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