Sommatoria e attualizzazione

[charle122]

Buonasera, su un libro di testo di economia industriale, ho trovato la seguente formula per rappresentare l'attualizzazione del profitto di un produttore:

$ sum(R^t*pi)= pi * (1-R^t)/(1-R) $

L'intervallo della sommatoria va da 0 a T-1. $ pi $ rappresenta il profitto che il produttore ottiene in ciascun periodo t (rimane sempre costante), mentre R rappresenta il fattore di sconto relativo a ciascun periodo (0,1,2)

Considerando che T=3, di conseguenza $ sum(R^t*pi)= pi *(R^0+R^1+R^2) $

Non riesco quindi a capire come si arrivi da questa espressione a quella finale: $ pi *(1-R^t)/(1-R) $

Qualcuno riesce a darmi una mano in merito a questo?

Vi ringrazio per l'attenzione

[pilloeffe]

Ciao charle122,

Benvenuto sul forum!

Mi pare semplicemente la somma di una progressione geometrica scritta male:

$\sum_{t = 0}^{T - 1} (R^t \cdot \pi) = \pi \cdot \sum_{t = 0}^{T - 1} R^t = \pi \cdot (1-R^T)/(1-R) $

Nel caso particolare $T = 3 $ si ha:

$\sum_{t = 0}^{2} (R^t \cdot \pi) = \pi \cdot \sum_{t = 0}^{2} R^t = \pi \cdot (1-R^3)/(1-R) = \pi \cdot (1 + R + R^2) $

[charle122]

Ciao pilloeffe,

grazie per il benvenuto e per la risposta!

Tuttavia non ho ancora ben chiaro come sia possibile $ pi *(1-R^3)/(1-R)=pi *(1+R+R^2) $ .
Da dove esce il denominatore? E $ R^3 $ nel numeratore?

Ti ringrazio ancora per la tua attenzione

A presto

[Mephlip]

È il risultato della somma di una progressione geometrica, si dimostra che la formula è quella.
La dimostrazione è la seguente: vogliamo determinare una formula per calcolare direttamente la somma $1+R+R^2+...+R^{N-1}$. Supponiamo $R \ne 1$, aggiungendo e sottraendo $R^N$ e raccogliendo a fattor comune $R$ si ha che
$$1+R+R^2+...+R^{N-1}=1+R+R^2+...+R^{N-1}+R^N-R^N$$
$$=1+R(1+R+R^2+...+R^{N-1})-R^N$$
Portando a sinistra $R(1+R+R^2+...+R^{N-1})$, ci si accorge che compare a sinistra due volte il fattore $1+R+R^2+...+R^{N-1}$, una volta moltiplicato per $1$ e una volta moltiplicato per $-R$; dunque lo si può raccogliere a fattor comune, ottenendo a sinistra $(1-R)(1+R+R^2+...+R^{N-1})$.
Quindi l'uguaglianza di prima è equivalente a
$$(1-R)(1+R+R^2+...+R^{N-1})=1-R^N$$
Avendo supposto $R\ne1$, segue che $1-R \ne0$ e perciò possiamo dividere per $1-R$; otteniamo quindi
$$1+R+R^2+...+R^{N-1}=\frac{1-R^N}{1-R}$$
Ecco da dove spunta fuori il denominatore.
Se invece non ti era chiaro come mai $\pi(1+R+R^2)=\pi \frac{1-R^3}{1-R}$, è perché la differenza di cubi si scompone così: dati due generici $a \in \mathbb{R}$ e $b\in\mathbb{R}$, è $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Quindi, nel tuo caso, è $1-R^3=1^3-R^3=(1-R)(1+R+R^2)$ e quindi $\pi \frac{1-R^3}{1-R}=\pi \frac{(1-R)(1+R+R^2)}{1-R}=\pi(1+R+R^2)$.