Sommatoria doppia
Salve a tutti, ho un problema con una sommatoria doppia.
Si ha $p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}\sum_{k = h - 1}^{+\infty}(1 - p)^(k - 2)$
Il professore l' ha risolta brevemente sostituendo i primi valori di $k$ e ricavando di conseguenza un risultato nel caso si cadesse in un caso notevole.
Chiaramente si tratta di una geometrica dove bisogna mettere un attimo le mani, comunque procede così:
$p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}\sum_{k = h - 1}^{+\infty}(1 - p)^(k - 2) = p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}[(1 - p)^(h - 1) + (1 - p)^h + (1 - p)^(h + 1) + ...]$
ma già qui mi perdo: se sostituisco $k = h - 1$ in $(1 - p)^(k - 2)$ mi immagino che venga $(1 - p)^(h - 3)$, non $(1 - p)^(h - 1)$
Poi, si passa a: $p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}[(1 - p)^(h - 1) + (1 - p)^h + (1 - p)^(h + 1) + ...] = p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}(1 - p)^(h - 1)[1 + (1 - p) - (1 - p)^2+ ...]$ dove al membro tra parentesi si riconosce una geometrica che somma al valore $1 - p$.
Si arriva dunque a: $p\sum_{h = 1}^{+\infty}(1 - p)^(h - 1) = p1/p = 1$
A questo punto ho provato a farla per conto mio, ma il risultato è stato ben diverso.
Pongo $l =k - 2$, quindi l' estremo inferiore della serie "interna" diventa $l =k - 2 => k = l + 2 => l + 2 = h - 1 => l = h - 3$ ed ottengo $p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}\sum_{l = h - 3}^{+\infty}(1 - p)^l$.
Allora la serie in $l$ si somma a $(1 - p)^(h - 3)/p$ e ci si riduce a $p\sum_{h = 1}^{+\infty}(1 - p)^(h - 3)$
Pongo $s = h - 3$ e si arriva a $p\sum_{s = -2}^{+\infty}(1 - p)^s$. Per portarmi ad una serie geometrica devo sommare a parte i termini per $s = -1$ ed $s = -2$.
com'è possibile ??
Grazie a tutti
Si arriva finalmente a $p(1/(1 - p)^2 + 1/(1 - p) + \sum_{s = 0}^{+\infty}(1 - p)^s) = 1/(1 - p)^2$
Si ha $p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}\sum_{k = h - 1}^{+\infty}(1 - p)^(k - 2)$
Il professore l' ha risolta brevemente sostituendo i primi valori di $k$ e ricavando di conseguenza un risultato nel caso si cadesse in un caso notevole.
Chiaramente si tratta di una geometrica dove bisogna mettere un attimo le mani, comunque procede così:
$p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}\sum_{k = h - 1}^{+\infty}(1 - p)^(k - 2) = p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}[(1 - p)^(h - 1) + (1 - p)^h + (1 - p)^(h + 1) + ...]$
ma già qui mi perdo: se sostituisco $k = h - 1$ in $(1 - p)^(k - 2)$ mi immagino che venga $(1 - p)^(h - 3)$, non $(1 - p)^(h - 1)$
Poi, si passa a: $p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}[(1 - p)^(h - 1) + (1 - p)^h + (1 - p)^(h + 1) + ...] = p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}(1 - p)^(h - 1)[1 + (1 - p) - (1 - p)^2+ ...]$ dove al membro tra parentesi si riconosce una geometrica che somma al valore $1 - p$.
Si arriva dunque a: $p\sum_{h = 1}^{+\infty}(1 - p)^(h - 1) = p1/p = 1$
A questo punto ho provato a farla per conto mio, ma il risultato è stato ben diverso.
Pongo $l =k - 2$, quindi l' estremo inferiore della serie "interna" diventa $l =k - 2 => k = l + 2 => l + 2 = h - 1 => l = h - 3$ ed ottengo $p^2\sum_{h = 1}^{+\infty}\sum_{l = h - 3}^{+\infty}(1 - p)^l$.
Allora la serie in $l$ si somma a $(1 - p)^(h - 3)/p$ e ci si riduce a $p\sum_{h = 1}^{+\infty}(1 - p)^(h - 3)$
Pongo $s = h - 3$ e si arriva a $p\sum_{s = -2}^{+\infty}(1 - p)^s$. Per portarmi ad una serie geometrica devo sommare a parte i termini per $s = -1$ ed $s = -2$.
com'è possibile ??
Grazie a tutti
Si arriva finalmente a $p(1/(1 - p)^2 + 1/(1 - p) + \sum_{s = 0}^{+\infty}(1 - p)^s) = 1/(1 - p)^2$
Risposte
Mi sembra che abbia ragione tu.
il problema è che il risultato giusto dovrebbe essere 1 come ha scritto il professore.
Il tuo risultato è corretto. Verrebbe 1 se l'esponente fosse [tex]$k$[/tex] e non [tex]$k-2$[/tex]. Da dove esce fuori questa sommatoria?
"ciampax":
Il tuo risultato è corretto. Verrebbe 1 se l'esponente fosse [tex]$k$[/tex] e non [tex]$k-2$[/tex]. Da dove esce fuori questa sommatoria?
viene da un calcolo probabilitstico.
Si tratta di una binomiale in cui gli unici 2 suceessi sono all' esento h-esimo e k-esimo, dove $k$ è l' ultimo evento.
Quinti se definisco $p$ la prob. di successo ottengo: $(1 - p)^(k - 2)p^2$.
Dato che h e k possono essere viste come 2 variabili aleatorie, quelle prob trovata rappresenta la prob congiunta tra le 2 v.a.
Allora a questo punto si voleva verificare la condizione di normalizzazione (sommatoria uguale ad 1).
"andra_zx":
Si tratta di una binomiale in cui gli unici 2 suceessi sono all' esento h-esimo e k-esimo, dove $k$ è l' ultimo evento.
Quinti se definisco $p$ la prob. di successo ottengo: $(1 - p)^(k - 2)p^2$.
Fin qui ok.
"andra_zx":
Dato che h e k possono essere viste come 2 variabili aleatorie, quelle prob trovata rappresenta la prob congiunta tra le 2 v.a.
Allora a questo punto si voleva verificare la condizione di normalizzazione (sommatoria uguale ad 1).
Però la seconda sommatoria dovrebbe partire da $k=h+1$, poichè il primo successo deve aversi non dopo il penultimo evento.
"robbstark":
Però la seconda sommatoria dovrebbe partire da $k=h+1$, poichè il primo successo deve aversi non dopo il penultimo evento.
ah giusto! errore mio ovviamente
grazie a tutti dell' aiuto!
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