Sommatoria di una serie geometrica: eppur non mi torna

[faximusy]

La sommatoria della serie geometrica dovrebbe essere pari a:

$\lim_{n \to \infty} (1-x^(n+1))/(1-x)$

se $ -1 con $x$ ragione della serie; altrimenti non esiste la somma.


Ora, per scrivere un numero decimale periodico in forma razionale, è necessario utilizzare questa sommatoria.

Esempio, per: $0.\bar{13}$, si fa:

$0.13(1/(1-(1/100)))$ dove $1/100$ è la ragione della serie geometrica derivante.

Il problema è con il numero: $27,3\bar{56}$, perchè se uso la sommatoria classica non arrivo al risultato;

devo invece utilizzare la sommatoria pari a: $ (1/100)/(1-(1/100))$

C'è qualche regola che determina ciò? Ad esempio dal numero delle cifre dell'antiperiodo?

Grazie

[misanino]

Sì, anche l'antiperiodo conta.
Comunque di fatto rendere un numero periodico in forma razionale è semplicissimo.
Funziona così: (prendiamo come esempio $5,4\bar(23)$)
1) prendi il tuo numero e lo scrivi senza virgola (cioè 5423)
2) sottrai al numero ottenuto tutto ciò che precede il periodo (cioè 5423-54=5369)
3) dividi il risultato trovato per il numero che ha tanti 9 quante sono le cifre del periodo (nel nostro esempio 2) e tanti zeri quante sono le cifre che precedono il periodo e che sono a destra della virgola (in questo caso 1) (cioè $5369/990$) e hai finito

[faximusy]

"misanino":Sì, anche l'antiperiodo conta.
Comunque di fatto rendere un numero periodico in forma razionale è semplicissimo.
Funziona così: (prendiamo come esempio $5,4\bar(23)$)
1) prendi il tuo numero e lo scrivi senza virgola (cioè 5423)
2) sottrai al numero ottenuto tutto ciò che precede il periodo (cioè 5423-54=5369)
3) dividi il risultato trovato per il numero che ha tanti 9 quante sono le cifre del periodo (nel nostro esempio 2) e tanti zeri quante sono le cifre che precedono il periodo e che sono a destra della virgola (in questo caso 1) (cioè $5369/990$) e hai finito

Ciao Misanino,
questo metodo lo conosco Ottimo per fare la prova.

Però l'esercizio prevede di farlo sfruttando le proprietà della serie geometrica, ma non riesco a trovare da nessuna parte il motivo per cui la somma viene considerata in un modo per alcuni numeri, e in un altro per altri. In teoria dovrebbe essere assolutamente la stessa

[misanino]

"faximusy":
Ciao Misanino,
questo metodo lo conosco Ottimo per fare la prova.

Però l'esercizio prevede di farlo sfruttando le proprietà della serie geometrica, ma non riesco a trovare da nessuna parte il motivo per cui la somma viene considerata in un modo per alcuni numeri, e in un altro per altri. In teoria dovrebbe essere assolutamente la stessa

Va bene.
Spiega allora perchè con 0.13 hai fatto ciò che hai fatto.
Quale ragionamento ci sta dietro?

[faximusy]

"misanino":[quote="faximusy"]
Ciao Misanino,
questo metodo lo conosco Ottimo per fare la prova.

Però l'esercizio prevede di farlo sfruttando le proprietà della serie geometrica, ma non riesco a trovare da nessuna parte il motivo per cui la somma viene considerata in un modo per alcuni numeri, e in un altro per altri. In teoria dovrebbe essere assolutamente la stessa

Va bene.
Spiega allora perchè con 0.13 hai fatto ciò che hai fatto.
Quale ragionamento ci sta dietro?[/quote]

Allora, il ragionamento su $0.\bar{13}$ è il seguente:

$0.\bar{13}=0+0.13+0.0013+0.000013+0.00000013+...$

$0.\bar{13}=13/100 ((1/100)^0+(1/100)^1+(1/100)^2+(1/100)^3+(1/100)^4+...)$

Ossia, fra parentesi tonde, una serie geometrica di ragione $1/100$; poichè $-1<1/100<1$
la sommatoria è pari a: $1/(1-(1/100))=1/(99/100)=100/99$
Quindi:

$0.\bar{13}=13/100(100/99)=13/99$

Che è appunto il risultato cercato. Fin qui tutto ok, perché richiama la teoria sulla sommatoria della serie geometrica.





Con $27.3\bar{56}$ le cose cambiano...

$27.3\bar{56}=27+0.3+0.056+0.00056+0.0000056+...$

$27.3\bar{56}=27+3/10+56/1000+...$

$27.3\bar{56}=27+3/10+56/10((1/100)^1+(1/100)^2+(1/100)^3+...)$

In questo caso ho una sommatoria che a differenza di prima parte da $1$, unica differenza che riesco a trovare...
Per giungere al risultato devo considerare la sommatoria della serie geometrica pari a:

$S_n=(1/100)/(1-(1/100))=(1/100)/(99/100)= 1/99$

quindi:
$27.3\bar{56}=27+3/10+56/10(1/99)=27083/990$

Che è il risultato atteso. Ovviamente con $S_n=1/(1-1/100)$, che è il metodo teorico standard riportato sui libri di testo, il risultato non giunge

[faximusy]

RISOLTO!

Il libro di testo (Marcellini Sbordone) deficita su questo argomento.

In realtà la sommatoria della serie geometrica NON è pari a quanto scritto nel mio primo post!
Ossia:

$\lim_{n \to \infty} (1-x^(n+1))/(1-x)$

Ma è pari a:

$\lim_{n \to \infty} a_1(1-x^(n+1))/(1-x)$

dove $a_1$ è il primo termine della serie!

Nel caso di $0.\bar{13}$, evidentemente il primo termine era proprio $1$;
nel caso di $27.3\bar{56}$, il primo termine è esattamente $1/100$, e per questo viene moltiplicato alla somma "classica".



Comunque grazie Misanino per aver partecipato