Sommatoria di un integrale improprio
Buongiorno, in questi giorni ho fatto lo scritto di analisi 1, fortunatamente superato, però c'è un esercizio che ho lasciato bianco, sul quale c'è la seria possibilità che verta l'orale:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n \int_0^\frac{1}{n}(\frac{\sin(t\sqrt{t})}{t}) dt \)
Non riesco ad inserire gli estremi di integrazione,mi dispiace ma non riesco a trovare la funzione
comunque la sommatoria da n=1 a più infinito, scusatemi ancora.
Come risoluzione sono davvero in alto mare, cioè esercizi simili non ne ho mai visti, avevo pensato o portare fuori l'integrale, ma mi sembra impossibile, o magari di determinarne la sommabilità per poter dire cosa fa la sommatoria, che ne dite? Grazie mille di qualsiasi aiuto
Edit: corretto grazie
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n \int_0^\frac{1}{n}(\frac{\sin(t\sqrt{t})}{t}) dt \)
Non riesco ad inserire gli estremi di integrazione,mi dispiace ma non riesco a trovare la funzione
comunque la sommatoria da n=1 a più infinito, scusatemi ancora.Come risoluzione sono davvero in alto mare, cioè esercizi simili non ne ho mai visti, avevo pensato o portare fuori l'integrale, ma mi sembra impossibile, o magari di determinarne la sommabilità per poter dire cosa fa la sommatoria, che ne dite? Grazie mille di qualsiasi aiuto
Edit: corretto grazie
Risposte
\[
\sum_{n=1}^\infty n \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{\sin (t\sqrt{t}) }{t}\, dt.\]
Ma cosa devi fare esattamente?
\sum_{n=1}^\infty n \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{\sin (t\sqrt{t}) }{t}\, dt.\]
Ma cosa devi fare esattamente?
Determinare il carattere della serie, scusami per non sabagliare con le formule l'ho dimenticato
Beh, non ti serve calcolare esplicitamente l'integrale (cosa impossibile da fare "a mano", comunque, perché la funzione integranda non è elementarmente integrabile), ma ti basta stimarlo asintoticamente.
Nota che la funzione integranda è positiva intorno a $0$ ed infinitesima in $0$ (perché?), dunque la funzione integrale:
\[
F(x) := \int_0^x \frac{\sin (t\sqrt{t})}{t}\ \text{d} t
\]
è certamente positiva intorno a $0$ ed è un infinitesimo d'ordine maggiore di $1$ per $x\to 0$ (perché?). Per determinarne esattamente l'ordine, prova sviluppare con Taylor l'integrando intorno a $0$ ed a ragionarci su.
Fatto ciò, la convergenza della serie (che è a termini positivi, almeno definitivamente) si studia facile col Criterio dell'Ordine di Infinitesimo.
Nota che la funzione integranda è positiva intorno a $0$ ed infinitesima in $0$ (perché?), dunque la funzione integrale:
\[
F(x) := \int_0^x \frac{\sin (t\sqrt{t})}{t}\ \text{d} t
\]
è certamente positiva intorno a $0$ ed è un infinitesimo d'ordine maggiore di $1$ per $x\to 0$ (perché?). Per determinarne esattamente l'ordine, prova sviluppare con Taylor l'integrando intorno a $0$ ed a ragionarci su.
Fatto ciò, la convergenza della serie (che è a termini positivi, almeno definitivamente) si studia facile col Criterio dell'Ordine di Infinitesimo.
Allora, la funzione è sicuramente infinitesima in 0 infatti \(\displaystyle \lim_{t-0}\frac{\sin (t\sqrt{t})}{t}= \lim_{t-0} \sqrt{t} = 0\) per i limiti notevoli, giusto?
Si, sicuramente non era mia intenzione calcolarlo, cioè almeno speravo di non doverlo fare. Dunque nel concreto, conviene, tramite taylor stimare l'ordine di infinitesimo, applicare il confronto asintotico per le serie e dunque dire se la serie converge o meno? Un ultima domanda, la sommabilità (o meno) dell'integrale può influire in qualche modo sulla convergenza?
Magari dicendo che è sommabile potrei dire che la sommatoria di termine generale F(an) sarebbe convergente e dunque la "sommatoria della sommatoria" dovrebbe convergere, è un ragionamento possibile ?
Si, sicuramente non era mia intenzione calcolarlo, cioè almeno speravo di non doverlo fare. Dunque nel concreto, conviene, tramite taylor stimare l'ordine di infinitesimo, applicare il confronto asintotico per le serie e dunque dire se la serie converge o meno? Un ultima domanda, la sommabilità (o meno) dell'integrale può influire in qualche modo sulla convergenza?
Magari dicendo che è sommabile potrei dire che la sommatoria di termine generale F(an) sarebbe convergente e dunque la "sommatoria della sommatoria" dovrebbe convergere, è un ragionamento possibile ?
Beh, se l'integrando non è sommabile, allora può succedere di tutto... Però se l'integrando conserva segno costante, la non sommabilità implica la divergenza della funzione integrale, quindi gli addendi della serie sarebbero tutti $\infty$ (con segno da determinare) e la serie non avrebbe molto senso.
[Discorso fatto molto a spanne, ma ora devo staccare, sorry.]
[Discorso fatto molto a spanne, ma ora devo staccare, sorry.]
@Reytyler: secondo me il simbolo di integrale ti sta facendo spaventare inutilmente. Lascia stare integrali impropri e ammennicoli vari, e cerca di visualizzare quantitativamente il tuo problema. Ti interessa il comportamento di
\[
\int_0^{\frac1n} \frac{\sin t\sqrt t}{t}\, dt, \]
per \(n\) molto grande. In particolare l'integrale è esteso a un dominio molto piccolo, su cui la funzione integranda assomiglia molto a \(\sqrt t\) (ho sviluppato secondo Taylor al primo ordine). Continua tu.
Quando hai finito questo ragionamento informale, rifletti su come formalizzarlo, dopodiché l'esercizio è finito.
\[
\int_0^{\frac1n} \frac{\sin t\sqrt t}{t}\, dt, \]
per \(n\) molto grande. In particolare l'integrale è esteso a un dominio molto piccolo, su cui la funzione integranda assomiglia molto a \(\sqrt t\) (ho sviluppato secondo Taylor al primo ordine). Continua tu.
Quando hai finito questo ragionamento informale, rifletti su come formalizzarlo, dopodiché l'esercizio è finito.
Buongiorno, scusate non avevo visto le risposte, innanzitutto grazie mille. Ho svluppato anche io con taylor ed effettivamente mi rimane un \( \sqrt t \). Procedendo sempre per logica, per n molto grandi il mio \(\displaystyle \ {\frac1n} \) tenderebbe a zero, ed il mio integrale, definito tra zero e zero, varrebbe zero ? Dunque tutta la sommatoria, andrebbe a zero?
O magari applicando il criterio fondamentale, posso dire che l'integrale varrebbe $ F(\frac1n ) - F(0)$ dove, approssimando con taylor il comportamento dell'integranda potrei dunque dire che quell'integrale vale, in definitiva $\frac1\sqrtn$. E che $\fracn\sqrtn$ vale proprio $\sqrtn$ e quindi un infinitesimo di ordine minore di 1 e converge per il criterio degli infinitesimi?
O magari applicando il criterio fondamentale, posso dire che l'integrale varrebbe $ F(\frac1n ) - F(0)$ dove, approssimando con taylor il comportamento dell'integranda potrei dunque dire che quell'integrale vale, in definitiva $\frac1\sqrtn$. E che $\fracn\sqrtn$ vale proprio $\sqrtn$ e quindi un infinitesimo di ordine minore di 1 e converge per il criterio degli infinitesimi?
Non si capisce molto del tuo ultimo post, sinceramente.
Approssima il tuo integrale così:
\[
\int_0^{\frac 1 n} \frac{\sin t\sqrt t}{t}\, dt \approx \int_0^{\frac{1}{n}} \sqrt t\, dt = \text{calcolabile esplicitamente}.\]
Dopo dovrai giustificare rigorosamente questa approssimazione.
Approssima il tuo integrale così:
\[
\int_0^{\frac 1 n} \frac{\sin t\sqrt t}{t}\, dt \approx \int_0^{\frac{1}{n}} \sqrt t\, dt = \text{calcolabile esplicitamente}.\]
Dopo dovrai giustificare rigorosamente questa approssimazione.
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