Sommatoria, con insieme degli indici non numerabile
Buon giorno,
in un testo di Fisica (di cui non ricordo il nome) ho visto utilizzata la seguente simbologia: $\sum_{\alpha \in A} \vec v_{\alpha}$, dove $A$ è un insieme con cardinalità superiore al numerabile e $\vec v_\alpha$ appartengono ad uno spazio vettoriale. Dove posso trovare una definizione rigorosa e informazioni aggiuntive sul simbolo $\sum$ quando l'insieme degli indici $A$ è non numerabile (con $|A| > \aleph_0$)? Come deve essere intesa tale sommatoria?
Grazie!
in un testo di Fisica (di cui non ricordo il nome) ho visto utilizzata la seguente simbologia: $\sum_{\alpha \in A} \vec v_{\alpha}$, dove $A$ è un insieme con cardinalità superiore al numerabile e $\vec v_\alpha$ appartengono ad uno spazio vettoriale. Dove posso trovare una definizione rigorosa e informazioni aggiuntive sul simbolo $\sum$ quando l'insieme degli indici $A$ è non numerabile (con $|A| > \aleph_0$)? Come deve essere intesa tale sommatoria?
Grazie!
Risposte
interessante. non mi viene altro da pensare che ad un modo alternativo ed efficace di scrivere una serie infinita, non so dove puoi trovare quella cosa, se l'hai vista su un testo di fisica prova a cercare qualcosa su quell'argomento.
Se ben ricordo il libro utilizzava quel simbolo parlando di sistemi ortonormali completi di spazi di Hilbert, e scriveva qualcosa del tipo: $\vec v = \sum_{\alpha \in A} <\vec e_\alpha | \vec v> \vec e_\alpha$, ove $\{\vec e_\alpha\}_{\alpha \in A}$ era la base ortonormale completa. Più in generale, avevo sentito parlare di "serie" con insieme degli indici con cardinalità non numerabile, però non riesco a trovare informazioni a riguardo.
Sul libro di W. Rudin Real and complex analysis 3a edizione si parla dell'argomento a pagina 83. Si tratta del paragrafo "Orthonormal Sets" del capitolo "Elementary Hilbert space theory".
Bene! Se ho ben capito, nel caso di una funzione $\varphi : A \to [0,+\infty]$, definisco $\sum_{\alpha \in A} \varphi(a)$ come $\int_A \varphi d\mu$, ove $\mu$ è la misura che conta.
Invece, nel caso in cui si abbia $\varphi : A \to V$, ove $V$ è uno spazio vettoriale?
Invece, nel caso in cui si abbia $\varphi : A \to V$, ove $V$ è uno spazio vettoriale?
Mi ricordavo che se ne era parlato.
Ho cercato e trovato. Prova a dare un'occhiata qui:
https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 31700.html
Ho cercato e trovato. Prova a dare un'occhiata qui:
https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 31700.html
Grazie per la risposta; ho riletto il thread, e ho seguito il riferimento a PlanetMath che avevi indicato, il quale parla però di somme di numeri reali positivi. È possibile definire qualcosa di analogo per combinazioni lineari con cardinalità superiore a quella del numerabile? È possibile cioè definire $\sum_{\alpha \in A} \varphi(\alpha)$ ove $\varphi : A \to V$, con $|A| > \aleph_0$ e $V$ spazio vettoriale?
Le combinazioni lineari sono sempre finite.
Si possono generalizzare (come ad es. si fa in $l^2$ usando una parte ONC).
Qualcosa è qui:
https://nrich.maths.org/discus/messages ... 69869.html
Comunque i tool tipici di cui si ha bisogno sono una struttura di spazio vettoriale ed una struttura topologica, per poter definire in qualche modo le somme infinite come limite di somme finite.
Ora ti ricopio la def che c'è sul "Cours d'Analyse", Tome II, di Choquet
Si possono generalizzare (come ad es. si fa in $l^2$ usando una parte ONC).
Qualcosa è qui:
https://nrich.maths.org/discus/messages ... 69869.html
Comunque i tool tipici di cui si ha bisogno sono una struttura di spazio vettoriale ed una struttura topologica, per poter definire in qualche modo le somme infinite come limite di somme finite.
Ora ti ricopio la def che c'è sul "Cours d'Analyse", Tome II, di Choquet
Ops, mi scuso: ho utilizzato impropriamente il termine combinazione lineare, appioppandogli l'attributo infinita; indendevo dire una "somma" infinita di vettori, con senso ancora da chiarire.
"Cours d'Analyse", Tome II, di Choquet. Edizione 1964, che mi ero comprato un po' di tempo fa...
Pag. 210 (VII - 3- §9: Familles sommables dans les groupes topologiques et les espaces normés).
Def 9.1 Sia $G$ un gruppo topologico commutativo (di Hausdorff). Sia $(a_i)_{i \in I}$ una famiglia di elementi di $G$.
Si dice che questa famiglia è sommabile se esiste un elemento $A \in G$ t.c.:
per ogni intorno $V$ dell'origine, esiste $J_0 \in F$ t.c. per ogni $J \in F$ contenente $J_0$ si abbia $A - \sum_{j \in J} a_j \in V$
Nota:
1) $I$ è un insieme qualunque, ed $F$ è l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $I$, ordinato per inclusione
Osservazione: dovrebbe essere immediato considerare il "caso particolare" in cui $G$ è spazio vettoriale topologico e uno considera una "combinazione lineare" infinita.
Osservazione: a chi fosse interessato ad approfondire consiglio la lettura dell'intero §. Fatto molto bene. A parte un po' di pomposità (grandeur) francese...
Ops, mi scuso: ho utilizzato impropriamente il termine combinazione lineare
Lesa maestà! Per questa volta passi, ma la prossima volta ti tagliamo le testa, ok?
Pag. 210 (VII - 3- §9: Familles sommables dans les groupes topologiques et les espaces normés).
Def 9.1 Sia $G$ un gruppo topologico commutativo (di Hausdorff). Sia $(a_i)_{i \in I}$ una famiglia di elementi di $G$.
Si dice che questa famiglia è sommabile se esiste un elemento $A \in G$ t.c.:
per ogni intorno $V$ dell'origine, esiste $J_0 \in F$ t.c. per ogni $J \in F$ contenente $J_0$ si abbia $A - \sum_{j \in J} a_j \in V$
Nota:
1) $I$ è un insieme qualunque, ed $F$ è l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $I$, ordinato per inclusione
Osservazione: dovrebbe essere immediato considerare il "caso particolare" in cui $G$ è spazio vettoriale topologico e uno considera una "combinazione lineare" infinita.
Osservazione: a chi fosse interessato ad approfondire consiglio la lettura dell'intero §. Fatto molto bene. A parte un po' di pomposità (grandeur) francese...
Ops, mi scuso: ho utilizzato impropriamente il termine combinazione lineare
Lesa maestà! Per questa volta passi, ma la prossima volta ti tagliamo le testa, ok?
Grazie mille! È proprio una definizione di questo tipo che mi aspettavo! Spesso sui libri di Fisica trovo simboli senza che ne sia stato definito il significato, desideravo fare un po' di chiarezza. Tempo permettendo tenterò di approndire l'argomento, sicuramente acquistando il libro indicato.
Lesa maestà! Per questa volta passi, ma la prossima volta ti tagliamo le testa, ok?
oh oh.. 
Grazie ancora!
Lesa maestà! Per questa volta passi, ma la prossima volta ti tagliamo le testa, ok?
oh oh.. Grazie ancora!
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