Sommatoria

[marcolinodip]

ciao a tutti! la Sommatoria per n=1 a + Infinito di
((n+1)* sen n ) / n! converge o diverge?? mi aiutate a capire per favore? grazie

[Seneca1]

A prima vista proverei a studiare la convergenza assoluta di quella serie.

[marcolinodip]

sen di n posso stimarlo come n e poi applicare il criterio del rapporto con (n+1)*n / n! ?

[Seneca1]

"marcolinodip":sen di n posso stimarlo come n e poi applicare il criterio del rapporto con (n+1)*n / n! ?

Per $n -> +oo$ , $|sin(n)|$ non puoi stimarlo con $n$! Puoi però maggiorarlo con $1$.

[ing.cane]

allora io procederei così:

1) controllo che il termine generale tende a zero, cioè la condizione necessaria per la convergenza:
$((n+1) sen n ) / (n!) $
per studiarlo conviene spezzare la serie e sfruttare il fattoriale al denominatore, cioè:
$ {(n sen n)/[n(n-1)!]}+ {[sen n]/[n!]} $ ==> $ {(sen n)/[(n-1)!]}+ {[sen n]/[n!]} $
praticamtente ciascuno dei termini tendono a zero ( hai il seno che è oscillante e limitata per un infinitesima (1/n!) ): per il corollario del teorema dei carabinieri tende a zero)

2) a questo punto studi il modulo della serie:
puoi usare il criterio del confronto:
$|{(n+1)sen n}/{n!}|<{n+1}/{n!}$
(infatti il seno è sempre $-1 a sto punto devi dimostare che $( n+1)/{n!} $ converge così per confronto converge anke la serie iniziale

siccome c'è un fattoriale conviene usare il criterio del rapporto:$ [{n+2}/{(n+1)!}][(n!)/(n+1)]$ siccome il limite converge a un valore minore di 1 la serie converge

In conclusione la serie che volevi studiare conv. per il criterio del confronto