Sommabilità funzione in senso improprio e generalizzato
Salve a tutti, ho iniziato gli esercizi con gli integrali impropri in vista dell'esame, e mi stavo esercitando con qualche esercizio preso qua e la, visto che ho poco materiale datomi dal docente.
Vorrei premettere una cosa, gli esercizi nei testi d'esame parlano di Sommabilità di una funzione, ma su internet non ho trovato molto, ma a quanto ho visto si tratta di calcolare la convergenza di un integrale improprio, tuttavia vi sarei grato se mi spiegaste cosa devo fare esattamente quando in un esercizio mi viene chiesto di studiare la sommabilità in senso improprio e generalizzato, e qual è la differenza.
Vi propongo quindi un esercizio tratto da un testo d'esame che ho provato a svolgere.
Studiare, al variare del parametro reale $a$ , la sommabilità in senso generalizzato ed improprio della seguente funzione:
$ (sqrt(x)(x-4))/(x^a(x+1)^2) $ nell'intervallo $ [0, +infty] $.
La funzione è continua nell'intervallo $ (0, +infty) $ e presenta discontinuità negli estremi.
Ho considerato l'integrale improprio $ int_(0)^(+infty) (sqrt(x)(x-4))/(x^a(x+1)^2) $ che quindi è di 3 specie e l'ho diviso in 2 parti, da 0 a p e da p a infinito e ho visto il comportamento dei due integrali separatamente.
$ x -> 0+ $ Il numeratore è asintotico a $ -4sqrt(x) $
Il denominatore è asintotico a $ x^a $
Quindi la funzione è asintotica a $ -4/x^(a-1/2) $ e converge per $ a < 3/2 $.
$ x -> +infty $ La funzione è asintotica a $ x^(3/2)/x^(a+2) $ quindi a $ 1/x^(a+1/2) $ e converge per $ a > 1/2 $
(A volte ho qualche dubbio quando devo fare le equivalenze asintotiche, quindi se queste sono sbagliate potreste darmi un metodo? )
Mettendo insieme i risultati si può dire che l'integrale converge per $ 1/2 < a < 3/2 $. E' corretto il procedimento?
E se si, si può dire allora che la funzione è sommabile per questi valori di $ a $ ?
Vorrei premettere una cosa, gli esercizi nei testi d'esame parlano di Sommabilità di una funzione, ma su internet non ho trovato molto, ma a quanto ho visto si tratta di calcolare la convergenza di un integrale improprio, tuttavia vi sarei grato se mi spiegaste cosa devo fare esattamente quando in un esercizio mi viene chiesto di studiare la sommabilità in senso improprio e generalizzato, e qual è la differenza.
Vi propongo quindi un esercizio tratto da un testo d'esame che ho provato a svolgere.
Studiare, al variare del parametro reale $a$ , la sommabilità in senso generalizzato ed improprio della seguente funzione:
$ (sqrt(x)(x-4))/(x^a(x+1)^2) $ nell'intervallo $ [0, +infty] $.
La funzione è continua nell'intervallo $ (0, +infty) $ e presenta discontinuità negli estremi.
Ho considerato l'integrale improprio $ int_(0)^(+infty) (sqrt(x)(x-4))/(x^a(x+1)^2) $ che quindi è di 3 specie e l'ho diviso in 2 parti, da 0 a p e da p a infinito e ho visto il comportamento dei due integrali separatamente.
$ x -> 0+ $ Il numeratore è asintotico a $ -4sqrt(x) $
Il denominatore è asintotico a $ x^a $
Quindi la funzione è asintotica a $ -4/x^(a-1/2) $ e converge per $ a < 3/2 $.
$ x -> +infty $ La funzione è asintotica a $ x^(3/2)/x^(a+2) $ quindi a $ 1/x^(a+1/2) $ e converge per $ a > 1/2 $
(A volte ho qualche dubbio quando devo fare le equivalenze asintotiche, quindi se queste sono sbagliate potreste darmi un metodo? )
Mettendo insieme i risultati si può dire che l'integrale converge per $ 1/2 < a < 3/2 $. E' corretto il procedimento?
E se si, si può dire allora che la funzione è sommabile per questi valori di $ a $ ?
Risposte
Per la sommabilita': prova a pensare un attimo a cosa succede al modulo dell'integranda...
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