Sommabilità di una funzione (integrabilità)
Salve, sono nuovo (complimenti per il fantastico forum! 
).
Mi sto esercitando su una nova tipologia di esercizi cioè studiare la sommabilità di una funzione in un determinato intervallo.
Purtroppo non mi ritrovo molti esempi su questo tipo e esercizi e quindi mi stanno sorgendo molti dubbi...
Ho letto la teoria ed in particolare ho trovato due corollari molto utili per la pratica che si possono riassumere così (spero che siano giusti):
$f(x)$ è sommabile se $lim_(x->+oo) |f(x)| x^alpha = l >= 0$ con $alpha > 1$
e
$f(x)$ è sommabile se $lim_(x->c) |f(x)| |x - c|^alpha = l >= 0$ con $alpha < 1$
Ho provato a mettere in pratica studiando la sommabilità della seguenta funzione (l'esercizio in questo caso dice di farlo in senso generalizzato e
da quello che ho capito io, devo applicare il secondo corollario, mentre il primo si applica per sommabilità in senso improprio giusto?)
$f(x) = sqrt(x)/(sin^(beta)(x))$ in $[0, 1]$
Correggetemi se sbaglio, quando comincio gli esercizi per prima cosa verifico se ci sono delle singolarità,
ed in questo caso lo $0$ infatti:
$lim_(x->0+) sqrt(x)/(sin^(beta)(x)) = +oo$
Poi applicando il secondo corollario scrivo:
$lim_(x->0+) |sqrt(x)/(sin^(beta)(x))|*|x|^alpha = l$
ora analizzo i vari casi e passo alle conclusioni:
se $alpha >= beta, l = 0$ e quindi ne deduco che è sommabile per $ alpha < 1$
se $alpha < beta, l = +oo$ e quindi in questo caso non sommabile
E' giusto?
).Mi sto esercitando su una nova tipologia di esercizi cioè studiare la sommabilità di una funzione in un determinato intervallo.
Purtroppo non mi ritrovo molti esempi su questo tipo e esercizi e quindi mi stanno sorgendo molti dubbi...
Ho letto la teoria ed in particolare ho trovato due corollari molto utili per la pratica che si possono riassumere così (spero che siano giusti):
$f(x)$ è sommabile se $lim_(x->+oo) |f(x)| x^alpha = l >= 0$ con $alpha > 1$
e
$f(x)$ è sommabile se $lim_(x->c) |f(x)| |x - c|^alpha = l >= 0$ con $alpha < 1$
Ho provato a mettere in pratica studiando la sommabilità della seguenta funzione (l'esercizio in questo caso dice di farlo in senso generalizzato e
da quello che ho capito io, devo applicare il secondo corollario, mentre il primo si applica per sommabilità in senso improprio giusto?)
$f(x) = sqrt(x)/(sin^(beta)(x))$ in $[0, 1]$
Correggetemi se sbaglio, quando comincio gli esercizi per prima cosa verifico se ci sono delle singolarità,
ed in questo caso lo $0$ infatti:
$lim_(x->0+) sqrt(x)/(sin^(beta)(x)) = +oo$
Poi applicando il secondo corollario scrivo:
$lim_(x->0+) |sqrt(x)/(sin^(beta)(x))|*|x|^alpha = l$
ora analizzo i vari casi e passo alle conclusioni:
se $alpha >= beta, l = 0$ e quindi ne deduco che è sommabile per $ alpha < 1$
se $alpha < beta, l = +oo$ e quindi in questo caso non sommabile
E' giusto?
Risposte
Qulunque consiglio sarà benaccetto, perfavore datemi un mano! 
Direi che come primo post ci sono andato fortunato! Ma come mai non mi isponde nessuno? 
per $x-> 0+$ abbiamo che $|sqrt (x)| * x^alpha = x ^((2alpha +1)/2)$,
Quindi il tuo limite dovrà essere $lim_(x->0+) x ^((2alpha +1)/2)/ (sinx)^(beta)$
Da cui tutte le considerazioni da fare... insomma ti eri mangiato un $sqrt(x)$, ma il procedimento è giusto!
Quindi il tuo limite dovrà essere $lim_(x->0+) x ^((2alpha +1)/2)/ (sinx)^(beta)$
Da cui tutte le considerazioni da fare... insomma ti eri mangiato un $sqrt(x)$, ma il procedimento è giusto!
Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto...
Per risolvere il limite ho sfruttato il fatto che $sin(x)$ tende asintoticamente ad $x$... è corretto questo ragionamento?
Anche perchè poi ho provato ad applicarlo in questo esercizio ma nascono alcuni problemi:
sempre nell'intervallo $[0, 1]$ devo studiare la sommabilità di $f(x) = 1/(sqrt(x)*|log(x)|)$.
Noto che $log(x)$ tende asintoticamente a $x - 1$ (giusto?) quindi mi scrivo il limite:
$lim_ (x->0+) 1/(sqrt(x)*|log(x)|)*|x-1|^alpha$
per $alpha <= 1$ il limite mi viene $+oo$
Il problema sorge per $alpha > 1$, in pratica facendo tendere $log(x)$ a $x - 1$ non riesco a risolvere il limite:
$lim_ (x->0+) (|x - 1|^(alpha - 1))/sqrt(x) = ???$ come faccio a risolvere il limite dato che c'è quell'$alpha - 1$ ???
Per risolvere il limite ho sfruttato il fatto che $sin(x)$ tende asintoticamente ad $x$... è corretto questo ragionamento?
Anche perchè poi ho provato ad applicarlo in questo esercizio ma nascono alcuni problemi:
sempre nell'intervallo $[0, 1]$ devo studiare la sommabilità di $f(x) = 1/(sqrt(x)*|log(x)|)$.
Noto che $log(x)$ tende asintoticamente a $x - 1$ (giusto?) quindi mi scrivo il limite:
$lim_ (x->0+) 1/(sqrt(x)*|log(x)|)*|x-1|^alpha$
per $alpha <= 1$ il limite mi viene $+oo$
Il problema sorge per $alpha > 1$, in pratica facendo tendere $log(x)$ a $x - 1$ non riesco a risolvere il limite:
$lim_ (x->0+) (|x - 1|^(alpha - 1))/sqrt(x) = ???$ come faccio a risolvere il limite dato che c'è quell'$alpha - 1$ ???
Per la prima parte va bene, hai che $sinx = x + o(x)$ per x tendente a 0, e dunque la sostituzione è lecita. Faccio notare comunque che l'integrale da calcolare va da 0 a 1, ma la funzione è continua ovunque tranne che nell'origine. Per studiarne la sommabilità basta quindi mettersi in un intorno dell'origine, se la funzione non esplode allora è integrabile. Quindi è lecito, visto che il problema si ha solo in un intorno dell'origine, usare Taylor.
Per il secondo problema, hai chiaramente toppato l'approssimazione, forse volevi riferirti al fatto che $lim_(x->0) ln (1+x) = x + o(x)$, ma questo non significa che $lim_(x->0) ln (x) = x -1 + o (x)$!!
Infatti:
$lim_(x->0) ln(x) = - infty$
Se fosse vero quello che dici $lim_(x->0) 1-x = -infty$ che non mi pare il massimo. Quindi no, direi che non va bene questo tuo ragionamento. Però ti faccio notare che $ln (x) = 2 ln sqrt(x)$ e quindi il limite $lim_(x->0) -1/ (2sqrt(x) * ln (sqrt (x))) $ assomiglia molto a un limite notevole.
Per il secondo problema, hai chiaramente toppato l'approssimazione, forse volevi riferirti al fatto che $lim_(x->0) ln (1+x) = x + o(x)$, ma questo non significa che $lim_(x->0) ln (x) = x -1 + o (x)$!!
Infatti:
$lim_(x->0) ln(x) = - infty$
Se fosse vero quello che dici $lim_(x->0) 1-x = -infty$ che non mi pare il massimo. Quindi no, direi che non va bene questo tuo ragionamento. Però ti faccio notare che $ln (x) = 2 ln sqrt(x)$ e quindi il limite $lim_(x->0) -1/ (2sqrt(x) * ln (sqrt (x))) $ assomiglia molto a un limite notevole.
"Zkeggia":
Per il secondo problema, hai chiaramente toppato l'approssimazione, forse volevi riferirti al fatto che $lim_(x->0) ln (1+x) = x + o(x)$, ma questo non significa che $lim_(x->0) ln (x) = x -1 + o (x)$!!
Infatti:
$lim_(x->0) ln(x) = - infty$
Se fosse vero quello che dici $lim_(x->0) 1-x = -infty$ che non mi pare il massimo. Quindi no, direi che non va bene questo tuo ragionamento.
E' vero avevo fatto questo ragionamento, ma si vede che è totalmente sbagliato...
"Zkeggia":
Però ti faccio notare che $ln (x) = 2 ln sqrt(x)$ e quindi il limite $lim_(x->0) -1/ (2sqrt(x) * ln (sqrt (x))) $ assomiglia molto a un limite notevole.
E' un meno quello difronte alla frazione dell'limite? Da dove esce fuori?
Ho cercato tra i vari limiti notevoli ed ho trovato questo: $lim_ (x->0+) x^alpha*log(x) = 0, alpha > 0$
Quindi $lim_ (x->0+) - 1/(2*sqrt(x)*log(sqrt(x))) = lim_ (x->0+) - (2*sqrt(x)*log(sqrt(x)))^(-1) = -oo$ solo che non sono molto convinto che sia giusto...
tantomeno di quest'altro limite quando applico $|x|^alpha$ : $lim_ (x->0+) - (2*sqrt(x)*log(sqrt(x)))^(-1)*|x|^alpha$ per studiarlo si ripresenteno gli stessi problemi di prima...
il (-) nasce dal fatto che per $x<1$ si ha $|ln(x)| = - ln(x)$. Così come per $x<0$ si ha $|x|=-x$
Ora però mi viene un dubbio su cosa intendessi quando volevi vedere se una funzione è sommabile.
Infatti avevo capito che tu volessi vedere quando $f(x)*x^(alpha)$ fosse sommabile, invece riguardando meglio, nel primo esercizio forse non volevi per caso guardare per quali $beta$ la funzione
$sqrt(x)/(sin^(beta)x$ fosse sommabile?
Infatti il criterio che citi vale solo nel caso che si debba vedere se una funzione è intergabile in senso improprio da un certo valore a a $+infty$, non valgono chiaramente nel caso che si debba vedere quando $x->0$, e questo mi ha messo il dubbio. Ma ci sta che tu volessi vedere quando $f(x)*x^alpha$ fosse sommabile in generale.
Ora però mi viene un dubbio su cosa intendessi quando volevi vedere se una funzione è sommabile.
Infatti avevo capito che tu volessi vedere quando $f(x)*x^(alpha)$ fosse sommabile, invece riguardando meglio, nel primo esercizio forse non volevi per caso guardare per quali $beta$ la funzione
$sqrt(x)/(sin^(beta)x$ fosse sommabile?
Infatti il criterio che citi vale solo nel caso che si debba vedere se una funzione è intergabile in senso improprio da un certo valore a a $+infty$, non valgono chiaramente nel caso che si debba vedere quando $x->0$, e questo mi ha messo il dubbio. Ma ci sta che tu volessi vedere quando $f(x)*x^alpha$ fosse sommabile in generale.
"Zkeggia":
Ora però mi viene un dubbio su cosa intendessi quando volevi vedere se una funzione è sommabile.
Infatti avevo capito che tu volessi vedere quando $f(x)*x^(alpha)$ fosse sommabile, invece riguardando meglio, nel primo esercizio forse non volevi per caso guardare per quali $beta$ la funzione
$sqrt(x)/(sin^(beta)x$ fosse sommabile?
Allora, di solito in questa tipologia di esercizi che sto cercando di capire il testo dice di studiare la sommabilità in senso improprio di una data funzione oppure
dice di studiarla in senso generalizzato, altre volte ancora dice di studiarla in entrambi i casi.
In ogni caso nella funzione di partenza non appare il parametro $alpha$, quando c'è un parametro (come nel caso di $sqrt(x)/(sin(x))^beta$) si chiama in un altro modo e
comunque non centra nulla con $alpha$, il paramatro $alpha$ lo introduco sempre io quando confronto la funzione di partenza con $|x|^alpha$ o $|x - c|^alpha$ per studiarne la sommabilità.
Leggendo la teoria ho trovato i due corollari:
"fool":
Ho letto la teoria ed in particolare ho trovato due corollari molto utili per la pratica che si possono riassumere così (spero che siano giusti):
$f(x)$ è sommabile se $lim_(x->+oo) |f(x)| x^alpha = l >= 0$ con $alpha > 1$
e
$f(x)$ è sommabile se $lim_(x->c) |f(x)| |x - c|^alpha = l >= 0$ con $alpha < 1$
Da quello che ho capito quando l'esercizio dice di studirare la sommabilità in senso improprio e mi da un intervallo del tipo [numero, +oo) io applico il primo dei
due corollari confrontando la funzione di partenza con $|x|^alpha$, quando invece devo studiare la sommabilità di una funzione in senso generalizzato e ho
un intervallo di tipo [0, numero] applico il secondo confrontando con $|x-c|^alpha$ ed infatti nel caso della funzione $f(x) = 1/(sqrt(x)*|log(x)|)$
il testo mi diceva di studiare la sommabiità in senso generalizzato e nell intervallo $[0,1]$ così ho applicato $|x-0|^alpha$ ottenendo: $lim_ (x->0+) - (2*sqrt(x)*log(sqrt(x)))^(-1)*|x|^alpha$
"Zkeggia":
Infatti il criterio che citi vale solo nel caso che si debba vedere se una funzione è intergabile in senso improprio da un certo valore a a $+infty$, non valgono chiaramente nel caso che si debba vedere quando $x->0$
Quindi se nel caso generalizzato non posso applicare i corollari come posso studiare la sommabilità per $x->c$ cioè per x che tende a un valore (tra cui anche 0)?
e mi sorge il dubbio: il secondo corollario allora a cosa serve dato che in senso improprio applico il primo?
Grazie per la pazienza, non sai quanto mi stai aiutando...
Sì puoi applicare i corollari che citi, nel tuo primo post non avevo letto che avevi citato anche quello della discontinuità in un punto $x_0$.
La differenza tra il secondo e il primo è abbastanza grossa.
Applichi il primo quando hai come estremo di integrazione un $infty$, mentre il secondo lo applichi nel caso di integranda illimitata in un punto $x_0$ che sta nell'intervallo di integrazione
per esempio, per verificare la sommabilità di
$int_1^(+oo) 1/x dx$
applichi il primo metodo, perché un estremo di integrazione è infinito, e questo metodo vale in questo caso.
Per studiare la sommabilità di
$int_0^1 1/x dx$ applicherai il secondo metodo, perché l'integranda in 0 diverge.
Questo link che ti passo è molto carino, peraltro è nel sito di Arrigo Amadori, che è un utente che da un po' di tempo non si vede sul forum.
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Op ... %C3%A0.pdf
È scritto in maniera molto compatta quando è possibile applicare un criterio piuttosto che un altro.
Comunque tornando al problema, abbiamo scoperto che quel limite diventa $+infty$, quindi c'è da verificare se è sommabile.
Ora applicando il secondo criterio che hai scritto, dovrai verificare se
$lim_(x->0) - x^a/(2sqrt(x)ln(sqrtx)) = l$ (con $l>=0$) è verificato per qualche $0
Scritto meglio avrai da vedere che $lim_(x->0) x^(alpha-1/2) / (-ln(x))$ converge o no. Lo sai calcolare questo limite?
La differenza tra il secondo e il primo è abbastanza grossa.
Applichi il primo quando hai come estremo di integrazione un $infty$, mentre il secondo lo applichi nel caso di integranda illimitata in un punto $x_0$ che sta nell'intervallo di integrazione
per esempio, per verificare la sommabilità di
$int_1^(+oo) 1/x dx$
applichi il primo metodo, perché un estremo di integrazione è infinito, e questo metodo vale in questo caso.
Per studiare la sommabilità di
$int_0^1 1/x dx$ applicherai il secondo metodo, perché l'integranda in 0 diverge.
Questo link che ti passo è molto carino, peraltro è nel sito di Arrigo Amadori, che è un utente che da un po' di tempo non si vede sul forum.
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Op ... %C3%A0.pdf
È scritto in maniera molto compatta quando è possibile applicare un criterio piuttosto che un altro.
Comunque tornando al problema, abbiamo scoperto che quel limite diventa $+infty$, quindi c'è da verificare se è sommabile.
Ora applicando il secondo criterio che hai scritto, dovrai verificare se
$lim_(x->0) - x^a/(2sqrt(x)ln(sqrtx)) = l$ (con $l>=0$) è verificato per qualche $0
Scritto meglio avrai da vedere che $lim_(x->0) x^(alpha-1/2) / (-ln(x))$ converge o no. Lo sai calcolare questo limite?
Ok ti ringrazio per l'aiuto ho capito
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