Sommabilità di una funzione al variare del parametro
Individuare i valori del parametro reale \alpha per cui risulta sommabile nella semiretta [0;+inf) la funzione:
$ f(x)=(x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha) $
ho provato ad utilizzare i criteri di sommabilità
$ lim_(x ->+ oo ) |x|^beta*|f(x)| $
se $ beta>1 $
ed il limite è finito allora la funzione è sommabile
e l'altro criterio
$ lim_(x ->+ oo ) |x-x0|^beta*|f(x)| $
in quanto il denominatore si annulla nel punto $ x0=-alpha $
Però non riesco a capire come applicare questi criteri e da dove prendo beta, il mio studio deve essere al variare del parametro alfa e non beta. Come devo fare? Grazie
$ f(x)=(x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha) $
ho provato ad utilizzare i criteri di sommabilità
$ lim_(x ->+ oo ) |x|^beta*|f(x)| $
se $ beta>1 $
ed il limite è finito allora la funzione è sommabile
e l'altro criterio
$ lim_(x ->+ oo ) |x-x0|^beta*|f(x)| $
in quanto il denominatore si annulla nel punto $ x0=-alpha $
Però non riesco a capire come applicare questi criteri e da dove prendo beta, il mio studio deve essere al variare del parametro alfa e non beta. Come devo fare? Grazie
Risposte
Ciao chiara, mi servirebbe un chiarimento. Per sommabilità intendi secondo Lebesgue? In pratica stai studiando analisi 3 (o 4, o reale, a seconda del tuo corso di studi)?
Più nel dettaglio, io ho studiato che una funzione $f : E in RR to RR$ di segno qualunque è detta sommabile se esistono finiti $int_E f^+$ e $int_E f^-$ secondo Lebesgue, dove $f^+$ è la parte positiva della funzione, definita così: $f^+ (x) = max{o,f(x)}$ ed analogamente per la parte negativa.
Nel caso così non fosse, ignora tutto quello che scriverò da qui in poi, e possibilmente dammi la tua definizione di funzione sommabile
Supponendo che sia così, dato che x è sempre positiva o almeno nulla, è $alpha$ a decidere il segno della funzione, ma a parte questo non mi pare abbia un ruolo nel decidere la sommabilità di f.
Se $alpha >= 0$ allora $f(x) >0 AA x in RR$ (ed inoltre è continua nel suo dominio), invece se $alpha <0$ allora f(x) avrà una discontinuità in $x = -alpha$ e sarà negativa prima di $-alpha$, positiva dopo.
Quei criteri che hai scritto sembrano solo un rimaneggiamento del cosiddetto criterio di confronto asintotico, che io utilizzo così: In soldoni, se due funzioni hanno lo stesso ordine di infinito o di infinitesimo (e questo si verifica, di solito, chiedendo che il limite del loro rapporto sia finito) ed una delle due ha integrale convergente, anche l'integrale dell'altra deve convergere.
Ciò detto, partiamo da $alpha >=0$: la funzione è positiva e continua su tutto ${0,+infty)$, quindi mi basta controllare che esista l'integrale all'infinito.
E allora, $ 0<(x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha)) ~ 1/(x^2 (x+alpha)) ~ 1/x^3$, il cui integrale all'infinito converge (è la famoserrima funzione armonica con p>1), pertanto per qualunque $alpha>=0$ l'integrale converge.
Ora, per $alpha <0$ ho una discontinuità in $x=-alpha$, quindi f ora è continua quasi ovunque su $[0,+infty)$. Niente di che, bisogna spezzare il dominio in corrispondenza del punto di discontinuità e studiare separatamente gli integrali nelle due parti.
Iniziamo con $int_{0}^{-alpha} (x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha)) dx$ e già direi che l'integrale non converge, dato che $(x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha)) ~ text( costante) * 1/(x+alpha)$ che è un infinito di ordine 1, quindi di nuovo funzione armonica ma con p=1. Lo stesso avviene, con segno opposto, a destra di $-alpha$, ma non ci sono simmetrie che potrebbero "compensare", quindi direi che possiamo concludere che l'integrale non converge per $alpha <=0$.
Più nel dettaglio, io ho studiato che una funzione $f : E in RR to RR$ di segno qualunque è detta sommabile se esistono finiti $int_E f^+$ e $int_E f^-$ secondo Lebesgue, dove $f^+$ è la parte positiva della funzione, definita così: $f^+ (x) = max{o,f(x)}$ ed analogamente per la parte negativa.
Nel caso così non fosse, ignora tutto quello che scriverò da qui in poi, e possibilmente dammi la tua definizione di funzione sommabile
Supponendo che sia così, dato che x è sempre positiva o almeno nulla, è $alpha$ a decidere il segno della funzione, ma a parte questo non mi pare abbia un ruolo nel decidere la sommabilità di f.
Se $alpha >= 0$ allora $f(x) >0 AA x in RR$ (ed inoltre è continua nel suo dominio), invece se $alpha <0$ allora f(x) avrà una discontinuità in $x = -alpha$ e sarà negativa prima di $-alpha$, positiva dopo.
Quei criteri che hai scritto sembrano solo un rimaneggiamento del cosiddetto criterio di confronto asintotico, che io utilizzo così: In soldoni, se due funzioni hanno lo stesso ordine di infinito o di infinitesimo (e questo si verifica, di solito, chiedendo che il limite del loro rapporto sia finito) ed una delle due ha integrale convergente, anche l'integrale dell'altra deve convergere.
Ciò detto, partiamo da $alpha >=0$: la funzione è positiva e continua su tutto ${0,+infty)$, quindi mi basta controllare che esista l'integrale all'infinito.
E allora, $ 0<(x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha)) ~ 1/(x^2 (x+alpha)) ~ 1/x^3$, il cui integrale all'infinito converge (è la famoserrima funzione armonica con p>1), pertanto per qualunque $alpha>=0$ l'integrale converge.
Ora, per $alpha <0$ ho una discontinuità in $x=-alpha$, quindi f ora è continua quasi ovunque su $[0,+infty)$. Niente di che, bisogna spezzare il dominio in corrispondenza del punto di discontinuità e studiare separatamente gli integrali nelle due parti.
Iniziamo con $int_{0}^{-alpha} (x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha)) dx$ e già direi che l'integrale non converge, dato che $(x^2+1)/((x^4+1)*(x+alpha)) ~ text( costante) * 1/(x+alpha)$ che è un infinito di ordine 1, quindi di nuovo funzione armonica ma con p=1. Lo stesso avviene, con segno opposto, a destra di $-alpha$, ma non ci sono simmetrie che potrebbero "compensare", quindi direi che possiamo concludere che l'integrale non converge per $alpha <=0$.
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