Sommabilità di una funzione
salve 
ho la seguente funzione $(1-sin^2t-cos(2t))/(sqrt(2+cost)*sint )$ e devo dire se è sommabile,giustificando la risposta, nell'intervallo $[-\pi/2,\pi/2]$ e in caso affermativo devo calcolare l'integrale definito con estremi $-\pi/2,\pi/2$
io ho ricondotto la funzione alla seguente $1/sqrt(2+x)dx$ dopo aver utilizzato le formule di duplicazione e aver posto cost=x
l'integrale da calcolare mi è venuto 0 (quindi è sommabile)
il problema è dimostrare la sommabilità, non ho capito di preciso che devo fare. per essere sommabile, una funzione deve essere continua e positiva nel'intervallo? grazie
ho la seguente funzione $(1-sin^2t-cos(2t))/(sqrt(2+cost)*sint )$ e devo dire se è sommabile,giustificando la risposta, nell'intervallo $[-\pi/2,\pi/2]$ e in caso affermativo devo calcolare l'integrale definito con estremi $-\pi/2,\pi/2$io ho ricondotto la funzione alla seguente $1/sqrt(2+x)dx$ dopo aver utilizzato le formule di duplicazione e aver posto cost=x
l'integrale da calcolare mi è venuto 0 (quindi è sommabile)
il problema è dimostrare la sommabilità, non ho capito di preciso che devo fare. per essere sommabile, una funzione deve essere continua e positiva nel'intervallo? grazie
Risposte
Prima di tutto una domanda: ma il denominatore è così?
$(1-sin^2t-cos(2t))/(sqrt(2+cost)\cdot sint )$
Punto due: per determinare se la funzione è sommabile, cosa da fare prima di calcolare l'integrale, devi verificare se, effettivamente, tale integrale risulti finto. Dal momento che sei su un intervallo limitato, gli unici problemi di integrabilità si possono avere nei punti in cui, eventualmente, la funzione non è definita (ho, se preferisci, presenta una discontinuità di seconda specie). Per cui chiediti: esistono punti simili sul tuo intervallo? Se sì, detto $c$ tale punto (o uno di tali punti) puoi usare il seguente fatto (che dovresti conoscere):
$\int_c^a f(x)\ dx<\infty$ (dove $a$ è un qualsiasi punto dell'intervallo in cui non hai problemi) se e solo se $f(x)\sim1/{(x-c)^\alpha}$ con $\alpha<1$. (Ovviamente tale risultato vale anche se consideri l'integrale $\int_b^c f(x)\ dx$).
$(1-sin^2t-cos(2t))/(sqrt(2+cost)\cdot sint )$
Punto due: per determinare se la funzione è sommabile, cosa da fare prima di calcolare l'integrale, devi verificare se, effettivamente, tale integrale risulti finto. Dal momento che sei su un intervallo limitato, gli unici problemi di integrabilità si possono avere nei punti in cui, eventualmente, la funzione non è definita (ho, se preferisci, presenta una discontinuità di seconda specie). Per cui chiediti: esistono punti simili sul tuo intervallo? Se sì, detto $c$ tale punto (o uno di tali punti) puoi usare il seguente fatto (che dovresti conoscere):
$\int_c^a f(x)\ dx<\infty$ (dove $a$ è un qualsiasi punto dell'intervallo in cui non hai problemi) se e solo se $f(x)\sim1/{(x-c)^\alpha}$ con $\alpha<1$. (Ovviamente tale risultato vale anche se consideri l'integrale $\int_b^c f(x)\ dx$).
si si è in quel modo(devo inserire un asterisco per separarlo?)
conosco più o meno la proprietà che mi hai indicato, ma sbaglio o la funzione è definita dappertutto? perché portandola alla forma
$1/sqrt(2+x)$ se metto lo zero al posto della x (poiché dalla sostituzione $cost=x$ ottengo che l'estremo è zero) ma anche senza la sostituzione
ottengo $1/sqrt(2)$ quindi una funzione non nulla. sbaglio in qualcosa?
conosco più o meno la proprietà che mi hai indicato, ma sbaglio o la funzione è definita dappertutto? perché portandola alla forma
$1/sqrt(2+x)$ se metto lo zero al posto della x (poiché dalla sostituzione $cost=x$ ottengo che l'estremo è zero) ma anche senza la sostituzione
ottengo $1/sqrt(2)$ quindi una funzione non nulla. sbaglio in qualcosa?
o devo inserire infinito al posto della x?
e viene comunque 0 e quindi non infinita
quel che mi lascia più perplessa è, se devo trovare se è sommabile calcolando l'integrale perché poi mi chiede di calcolarlo?
e viene comunque 0 e quindi non infinita
quel che mi lascia più perplessa è, se devo trovare se è sommabile calcolando l'integrale perché poi mi chiede di calcolarlo?
Dici che in $x=0$ è definita? A me pare che $\sin 0=0$, no?
il seno l'ho eliminato con la formula di duplicazione per questo ho messo come l'avevo ricondotta.
ho fatto il seguente: $(1-sin^2t-cos^2t+sin^2t)$ quindi ho semplificato $sin^2t$ e ho trasformato $1-cos^2t =sin^2t$ e ho semplificato un seno con il denominatore
devo dire che è confrontabile con $1/x^(1/2)$ ed essendo $1/2 < 1$ è sommabile?
Tu dici che puoi semplificare una cosa del tipo $0/0$? A me non pare possibile....
ma ho scritto i passaggi, dove sbaglio?
Non è che sbagli, ma non argomenti nel modo giusto. In principio la tua funzione non è definita per $t=0$: questo vuol dire che devi spezzare l'integrale nella somma di due integrali $\int_{-\pi/2}^0+\int_0^{\pi/2}$. Ora, quando $t\to 0$ la tua funzione ha il seguente comportamento asintotico
$f(t)=\frac{\sin^2 t}{\sqrt{2+\cos t}\cdot \sin t}\sim\frac{t^2}{\sqrt{3}\cdot t}=t/3$
Nel limite puoi dividere due funzioni identicamente nulle: quello che fai tu è dividere due quantità che possono valere entrambe zero, ed è una cosa algebricamente errata. Ora quello che trovi è che gli integrali che calcoli vicino a zero hanno un andamento simile a $t/3$ e pertanto l'integrale esiste finito.
$f(t)=\frac{\sin^2 t}{\sqrt{2+\cos t}\cdot \sin t}\sim\frac{t^2}{\sqrt{3}\cdot t}=t/3$
Nel limite puoi dividere due funzioni identicamente nulle: quello che fai tu è dividere due quantità che possono valere entrambe zero, ed è una cosa algebricamente errata. Ora quello che trovi è che gli integrali che calcoli vicino a zero hanno un andamento simile a $t/3$ e pertanto l'integrale esiste finito.
grazie, ora ho le idee un po' più chiare
dunque per verificare se una funzione è sommabile devo vedere se è continua, levare i punti ove non lo è e dividere l'integrale e vedere come si comportano asintoticamente?
dunque per verificare se una funzione è sommabile devo vedere se è continua, levare i punti ove non lo è e dividere l'integrale e vedere come si comportano asintoticamente?
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