Sommabilità di funzioni reali (spazi lp)

[manuelaoro]

Salve a tutti!
Sto preparando un esame di analisi ma non riesco a risolvere tale esercizio:

Data una funzione $f(x)=(logx)/(x^2-1)$ verificare che essa sia di classe $L^1(A)$, con $A= [0,+oo] $

qualcuno è in grado di aiutarmi a risolverlo?
oppure, conoscete siti in cui vi sono esercizi svolti di questo genere?

Grazie infinite

Manuela

[gugo82]

Una funzione $f:]0,+oo[to RR$ è in $L^1$ se risulta finito l'integrale improprio $\int_0^(+oo)|f(x)|" d"x$.

Guardando l'espressione di $f$, ti accorgi che per stabilire l'appartenenza della funzione ad $L^1$ devi studiare la sommabilità dell'integrale $\int_0^(+oo) (log x)/(x^2-1)" d"x$ e questo è un esercizietto da Analisi I.
Prova da sola, poi confrota la tua soluzione con la mia.

La tua funzione $f(x)=(log x)/(x^2-1)=$ è positiva in tutto $]0,+oo[$, quindi per provare che $f in L^1(]0,+oo[)$ basta vedere se è finito l'integrale $\int_0^(+oo) (log x)/(x^2-1)" d"x$.
L'integrando è non limitato intorno a $0$, è infinitesimo all'infinito e potrebbe presentare una discontinuità nel punto $1$ (per via dell'annullarsi del denominatore): pertanto dobbiamo studiare l'ordine d'infinito di $f(x)$ in $0$, l'ordine di infinitesimo in $+oo$ ed il comportamento in $1$.

- In $0$: l'unico fattore di $f(x)$ che dà problemi è il logaritmo, il quale tende a $-oo$ quando $xto 0^+$; d'altra parte è noto che il logaritmo è un infinito in $0$ d'ordine infinitamente piccolo (rispetto ad $1/x$). Pertanto comunque si fissi $c in ]0,1[$, l'integrale improprio $\int_0^cf(x)" d"x$ esiste finito per arcinoti criteri di sommabilità.

- In $+oo$: il denominatore di $f(x)$ è un infinito d'ordine due, mentre il numeratore è un infinito d'ordine infinitamente piccolo (rispetto ad $x$): ne consegue che $f$ è in $+oo$ un infinitesimo non dotato di ordine, ma sicuramente d'ordine superiore ad ogni $1
- In $1$: visto che possiamo scrivere $f(x)=1/(x+1)*(log x)/(x-1)$, abbiamo:

$lim_(x to 1) f(x)=lim_(x to1)1/(x+1)*(log x)/(x-1)=lim_(y to0)1/(y+2)*(log(1+y))/y=2*1=2$

e da ciò segue che $f(x)$ è continua in $1$. Pertanto, comunque si fissino $c in ]0,1[, din]1,+oo[$, l'integrale $\intc^df(x)" d"x$ esiste finito perchè $f$ è continua in $[c,d]$.

Mettendo insieme i tre risultati possiamo affermare che $\int_0^(+oo) f(x)" d"x=\int_0^c f(x)" d"x+\int_c^d f(x)" d"x+\int_d^(+oo) f(x)" d"x$ esiste finito: perciò $f in L^1(]0,+oo[)$.

[manuelaoro]

avevo pensato di risolverlo in questa maniera ma mi bloccavo quando dovevo verificare il comportamento di f(x) in $0$ e $+oo$

anzi credevo che dovevo prima verificare la misurabilità di f in $[0,+oo]$ e poi la sommabilità di f.
perchè tu non lo fai?

[gugo82]

Perchè $f$ è continua, quindi si vede ad occhio che essa è misurabile secondo Lebesgue.

[manuelaoro]

si vede ad occhio? forse non riesco a concentrarmi abbastanza....

[gugo82]

"goldengirl":si vede ad occhio? forse non riesco a concentrarmi abbastanza....

Ogni funzione continua antitrasforma aperti del codominio in aperti (in topologia indotta) del dominio ed in $RR$ tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, quindi...