Sommabilità di funzione
Ciao, stavo tendando l'ennesimo esercizio e mi sono imbattuto in questo studio di sommabilità:
$f(x)= (arctan(x)-(pi)/2)/(sqrt(x)ln(x))$
nell'intervallo [2,+inf[, per sommabilità credo si intenda se esiste finito l'integrale percio sono passato al calcolo dell'integrale impropio di f(x), e qui viene il problema, la funzione presenta al suo interno 2 funzioni trascendenti diverse tra di loro quindi nella sostituzione una mi sta sempre tra i piedi, avevo allora provato a fare questa sostituzione $x=(e^(t))^2$modo che sostituendo questo valore la radice e il logaritmo andavano via inseme ma alla fine non ha portato ad alcun risultato valido, perchè mi ritrovo sempre a $ln$ o $e^t$, forse ho preso un abbaglio nella sostituzione, ma non riesco più andare avanti...
$f(x)= (arctan(x)-(pi)/2)/(sqrt(x)ln(x))$
nell'intervallo [2,+inf[, per sommabilità credo si intenda se esiste finito l'integrale percio sono passato al calcolo dell'integrale impropio di f(x), e qui viene il problema, la funzione presenta al suo interno 2 funzioni trascendenti diverse tra di loro quindi nella sostituzione una mi sta sempre tra i piedi, avevo allora provato a fare questa sostituzione $x=(e^(t))^2$modo che sostituendo questo valore la radice e il logaritmo andavano via inseme ma alla fine non ha portato ad alcun risultato valido, perchè mi ritrovo sempre a $ln$ o $e^t$, forse ho preso un abbaglio nella sostituzione, ma non riesco più andare avanti...
Risposte
La butto lì perché non ho il tempo di verificarla però ho pensato che se devi solo verificarne la sommabilità (ed è sommabile) non serve necessariamente risolvere l'integrale e forse puoi confrontarla con un'altra funzione che conosci e che è sommabile oppure trovare una successione/serie di funzioni che converga alla tua f utilizzando i teoremi di passaggio al limite sotto integrale (se li conosci).
Scusa per la risposta vaga. Spero ti dia un'idea. Ciao
Scusa per la risposta vaga. Spero ti dia un'idea. Ciao
Come dice Megan00b, questo genere di esercizi si può risolvere velocemente per confronto. E' esattamente lo stesso principio che c'è dietro ai criteri di confronto per stabilire la convergenza delle serie a termini positivi.
In questo caso la nostra funzione è a segno costante in $[2, infty)$, precisamente a segno negativo (perché?). Quindi ha senso procedere per confronto. Un'idea rapida è fare un confronto asintotico: quella funzione tende a $0$ per $x\toinfty$, ma qual'è il suo ordine di infinitesimo? Diciamo che sia $p$. Allora, che cosa fa l'integrale $int_2^infty1/(x^p)"dx"$?
In questo caso la nostra funzione è a segno costante in $[2, infty)$, precisamente a segno negativo (perché?). Quindi ha senso procedere per confronto. Un'idea rapida è fare un confronto asintotico: quella funzione tende a $0$ per $x\toinfty$, ma qual'è il suo ordine di infinitesimo? Diciamo che sia $p$. Allora, che cosa fa l'integrale $int_2^infty1/(x^p)"dx"$?
certo non ci avevo fatto caso che in quell'intervalo è negativa ($arctanx $ in [2,*inf[ vuol dire < $(pi)/2$), quindi tu dici che il confronto si può fare solo in virtù della negatività? per il resto ci ho capito ben poco....
Quell'esercizio si risolve immediatamente se applichi il criterio del confronto asintotico. Se non lo conosci, ti consiglio di studiarlo: non dovresti avere problemi a trovarlo sul tuo libro di analisi preferito. Puoi anche dare un'occhiata a questo topic recente: https://www.matematicamente.it/forum/met ... 36889.html . (Se non mi sbaglio tra i post di maurer trovi anche una spiegazione di questo criterio di convergenza).
Sottolineo una cosa: ho specificato che la nostra funzione è a segno costante (in questo caso negativa ma è lo stesso), perché senza questa condizione non ha granché senso applicare dei confronti. E' una cosa che tendo sempre a scordarmi anche io ma che va tenuta presente. Se una funzione cambia selvaggiamente segno nell'intervallo di integrazione (tipo $(sinx)/x$) non c'è confronto che tenga.
Sottolineo una cosa: ho specificato che la nostra funzione è a segno costante (in questo caso negativa ma è lo stesso), perché senza questa condizione non ha granché senso applicare dei confronti. E' una cosa che tendo sempre a scordarmi anche io ma che va tenuta presente. Se una funzione cambia selvaggiamente segno nell'intervallo di integrazione (tipo $(sinx)/x$) non c'è confronto che tenga.
"dissonance":
Se una funzione cambia selvaggiamente segno nell'intervallo di integrazione
Questo avverbio messo lì ha qualcosa di poetico.
Mi piace
grazie per la delucidazione dissonance, in effetti credo propio di aver scelto la strada più complicata, mi sono andato a vedere i criteri di sommabilità con il confronto, anche se a quanto ho capito non è confronto vero e propio, in pratica confronti la f(x) con una funzione $1/(x^a)$ con lo stesso ordine di infinito o infinitesimo che converge solo se a<1 quindi sommabile( questo se ho capito bene ...), quindi in realtaà dovrei calcolare l'oridne di infinitesimo di f(x), e già questo è un problema..., e poi verificare se $1/(x^a)$ converge.
Beh non è difficile trovare l'ordine di infinitesimo di quella funzione... Tieni conto che $arctanx-pi/2$ è un infinitesimo del primo ordine (per $x\toinfty$), $1/(sqrt(x))$ è un infinitesimo di ordine 1/2 e $1/(logx)$ è un infinitesimo di ordine più basso di qualsiasi $a>0$. In totale hai quindi un infinitesimo di ordine superiore a $1+1/2$ ma inferiore a $1+1/2+epsilon$ per ogni $epsilon>0$. Si tratta adesso di capire cosa fa $1/(x^(1+1/2))$. Ma c'è una regoletta generale, molto comoda, per stabilire la sommabilità di questo genere di funzioni. $1/x^alpha$ è sommabile in $[1, infty)$ se e solo se...
"dissonance":
Se una funzione cambia selvaggiamente segno nell'intervallo di integrazione (tipo $(sinx)/x$) non c'è confronto che tenga.
Vabbè non è del tutto esatto; infatti anche $(sin x)/x^2$ cambia anarchicamente segno epperò è sommabile intorno a $+oo$...
Diciamo che quando si ha a che fare con funzioni di segno (definitivamente) costante si può omettere il valore assoluto e ciò, a volte, semplifica i calcoli.
[size=75]1800° post!
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