Sommabilità di f (da verificare)

[indovina]

Ho da verificare che:

$f(x) = 1/(x*Sqrt(x+3)) $

è sommabile.

$ lim_(x->+oo) (1/(x*Sqrt(x+3))) * x^(alpha) $

mi trovo l' $alpha$ buono, e secondo i miei calcoli sembra essere $alpha>= 1/2$

infatti se si fa il limite, è 0 (infatti il lim doveva risultare $l>=0$ )

deduco che sia sommabile.

secondo voi va bene? suggerimenti? grazie.

[regim]

Dovrebbe essere almeno maggiore di $1$, sbaglio? a me risulta $3/2$.

[Camillo]

Se la funzione di cui studiare la sommabilità è
$f(x)= 1/(xsqrt(x+3)) $ , nell'intervallo $ (0, +oo )$

non lo è perchè all'$oo $ si comporta bene ( è asintotica a $1/x^(3/2)$ ) ma male nell'intorno di $0 $ in quanto è asintotica a $ 1/x $( dovrebbe essere asintorica a $1/x^(alpha) $ con $alpha < 1 $, e quindi non è integrabile.

[indovina]

Mi scuso con entrambi, dal momento che non ho specificato l'intervallo.
L'intervallo su cui bisogna discutere è $[1,+oo]$
ed è integrabile, io sto calcolando l'integrale per sostituzione.
dovrebbe venire (suggerito da wolfram) qualcosa che in genere la prof non mette nei compiti u.u sembra strano:

$= - 2 *( tanh^(-1) ((sqrt(x+3))/sqrt(3)) )/sqrt(3)$

[regim]

"clever":Mi scuso con entrambi, dal momento che non ho specificato l'intervallo.
L'intervallo su cui bisogna discutere è $[1,+oo]$

In effetti avevo considerato quell'intervallo illimitato, in generale però la procedura è quella di Camillo, perchè sommabile s'intende ovunque se non si specifica come hai poi opportunamente precisato.

[Camillo]

@ clever : sei sicuro che l'esercizio chiedesse di calcolare il valore dell'integrale o più semplicemente chiedesse se è sommabile nell'intervallo specificato ?

[indovina]

Vi scrivo il testo, spero di far chiarezza

'' dire se la seguente funzione è sommabile nell'intervallo $[1,+oo)$ e nel caso positivo calcolare il valore dell'integrale''.

[Camillo]

E' sommabile nell'intervallo $[1,+oo ) $ in quento in $1 $ non c'è alcuna criticità e nell'intorno di $+oo $ si comporta " bene " come già detto sopra.
Per calcolarlo consiglio la sostituzione $t = sqrt(x+3 ) $.

[indovina]

"Camillo":Se la funzione di cui studiare la sommabilità è
$f(x)= 1/(xsqrt(x+3)) $ , nell'intervallo $ (0, +oo )$

non lo è perchè all'$oo $ si comporta bene ( è asintotica a $1/x^(3/2)$ ) ma male nell'intorno di $0 $ in quanto è asintotica a $ 1/x $( dovrebbe essere asintorica a $1/x^(alpha) $ con $alpha < 1 $, e quindi non è integrabile.

per vedere se è sommabile nell'intorno di $1$ e a $+oo$ hai fatto semplicemente i limiti senza considerare quale $alpha$ va bene? a $+oo$ fa proprio $0$ che sufficiente per dire che è sommabile.
in un altro esercizio che mandai l'ho risolta trovandomi l' $alpha$ secondo questa 'regola':

se
$Lim_(x->+oo) |f(x)|*x^(alpha) = l >=0$ è sommabile.

anche io ho incominciato con la sostituzione che hai detto tu, arrivo ad un certo punto e mi perdo.

se: $sqrt(x+3) = t$

$x+3=t^2$

$x= t^2 - 3$

$x' = 2*t$

da cui $\int 2/(t^2 -3)$

io avevo pensato a scomporre qualcosa come $(A/(x+x_1)) +(B/(x+x_2)) $ ma non credo sia la via giusta.

[Camillo]

Scomporre $2/(t^2-3) $ in $ A/(t+sqrt(3)) +B/(t-sqrt(3)) $è corretto : è la scomposizione in fratti semplici -naturalmente vanno determinate $ A, B $
per quanto riguarda la integrazione in $ [1,+oo) $ devi notare che per $ x= 1 $ la funzione è definita, non è necessario tu faccia alcun limite per $x rarr 1 $ .La funzione vale $f(1) = 1/2 $ valore finito -poco ci importa quanto sia il suo valore effettivo...
L'estremo di integrazione $+oo $ invece impone delle considerazioni :
$ lim_( x rarr +oo ) f(x)=0 $ valore finito ,bene ma non basta , bisogna sapere come ci va a $ 0 $ ; diciamo che perchè la funzione sia integrabile deve andare a $ 0 $ "molto " rapidamente .
Più precisamente deve andare a $ 0 $ come $1/x^(alpha )$ con $ alpha > 1 $ .
Nel caso nostro per $ x rarr +oo $ la funzione è asintotica a $1/(xsqrt(x))=1/x^(3/2) $ essendo $3/2 > 1 $ la funzione è integrabile nell'intervallo infinito. Geometricamente questo vuol dire che l'area sottesa tra la curva e l'asse delle ascisse tra $x = 1 $ fino a $+oo $ è finita . E questo è merito della veloce decrescenza a $0 $ della funzione per $ x rarr +oo $.