Sommabilità al variare di $ alpha $

[Rebdiluca]

Ciao, ormai ho preso una fissa per questo genere di esercizi, ma ne ho incontrato uno che non so come affrontare:
Stabilire per quali $ alpha $ la funzione
$ f(x)=(sqrt(x)(x-4))/((x^alpha)(1+x)^2) $
è sommabile nell'intervallo $ (0, +\infty) $

So che bisogna applicare i criteri di sommabilità, ma come devo muovermi? Grazie!

[Camillo]

Considero il caso $x rarr oo $ allora la funzione integranda è asintotica a $ x^(3/2)/(x^(alpha+2)) = 1/(x^(alpha+1/2))$
Per integrabilità nell'intorno di $ oo $ deve essere $ alpha +1/2> 1 $ ...
Considera poi acosa sarà asintotica la funzione integranda in un intorno di $x=0 $

[Rebdiluca]

In un intorno di $ x=0 $, la funzione integranda dovrebbe essere asintotica a $ 1/x^(alpha-1/2) $, che converge per $ alpha-1/2 < 1 $, cioè $ alpha< 3/2 $. Quindi la funzione è sommabile per $ 1/2

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[Camillo]

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