Sommabilità
Ciao a tutti, devo studiare la sommabilità nell'intervallo $ [1,+infty[ $ della seguente funzione:
$ f(x)=(x-x^(2)sen(1/x))/(log(1+e^(x^alpha)) $
Per determinarla, devo studiare il comportamento a $ +infty $ della funzione calcolando il $ lim_(x->+infty) x^alpha(f(x)) $, e la funzione è sommabile per $ alpha>1 $. Il problema è che non riesco a calcolarlo, non so proprio da dove partire. Mi aiutereste, per favore?
$ f(x)=(x-x^(2)sen(1/x))/(log(1+e^(x^alpha)) $
Per determinarla, devo studiare il comportamento a $ +infty $ della funzione calcolando il $ lim_(x->+infty) x^alpha(f(x)) $, e la funzione è sommabile per $ alpha>1 $. Il problema è che non riesco a calcolarlo, non so proprio da dove partire. Mi aiutereste, per favore?
Risposte
Ciao, poiché
\( \sin(1/x) = \frac{1}{x} -\frac{x^3}{6} + o(\frac{1}{x^5}) \)
\(\log(1+e^{x^\alpha}) \sim x^\alpha \)
quando \( x \to + \infty\)
Allora \( f(x) \sim \frac{x^{-1-\alpha}}{6} \) quando \( x \to +\infty \)
Non ho ben capito cosa vuoi calcolare...
\( \sin(1/x) = \frac{1}{x} -\frac{x^3}{6} + o(\frac{1}{x^5}) \)
\(\log(1+e^{x^\alpha}) \sim x^\alpha \)
quando \( x \to + \infty\)
Allora \( f(x) \sim \frac{x^{-1-\alpha}}{6} \) quando \( x \to +\infty \)
Non ho ben capito cosa vuoi calcolare...
Ah, si deve usare Taylor? Io devo calcolare la sommabilità, e so che $ alpha $ (guarda il limite che ho scritto sopra) deve essere maggiore di $ 1 $ per far sì che la funzione sia sommabile.
In questo caso $ alpha=1 $, dunque la funzione non è sommabile quando $ x->+infty $
Ciao,
Se la consegna è:
"Studiare la sommabilità della funzione \( f_{\alpha}(x)=\frac{x-x^2 \sin(\frac{1}{x})}{\log(1+e^{x^\alpha})} \) nell'intervallo \( (1, +\infty) \) al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$"
Poiché $f$ è continua in $(1,+\infty)$, l'unico "punto problematico" è $+\infty$.
Per le considerazioni fatte prima, la funzione è asintotica a $+\infty$ a \( \frac{x^{-1-\alpha}}{6} \) e dunque è sommabile se e solo se $\alpha >0$.
Non credo tu abbia chiara la questione del limite. Se il limite che hai scritto fa $0$ o è finito con $\alpha >1$, allora la funzione è sommabile. Ma è quello che ho scritto io in maniera, credo, più semplice.
Se la consegna è:
"Studiare la sommabilità della funzione \( f_{\alpha}(x)=\frac{x-x^2 \sin(\frac{1}{x})}{\log(1+e^{x^\alpha})} \) nell'intervallo \( (1, +\infty) \) al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$"
Poiché $f$ è continua in $(1,+\infty)$, l'unico "punto problematico" è $+\infty$.
Per le considerazioni fatte prima, la funzione è asintotica a $+\infty$ a \( \frac{x^{-1-\alpha}}{6} \) e dunque è sommabile se e solo se $\alpha >0$.
Non credo tu abbia chiara la questione del limite. Se il limite che hai scritto fa $0$ o è finito con $\alpha >1$, allora la funzione è sommabile. Ma è quello che ho scritto io in maniera, credo, più semplice.
"Bremen000":
Se il limite che hai scritto fa $0$ o è finito con $\alpha >1$, allora la funzione è sommabile. Ma è quello che ho scritto io in maniera, credo, più semplice.
Sisi, io intendo esattamente questo, ma non ho capito perché tu hai scritto $ a>0 $.
Facciamo così:
Fatto 1: Le funzioni \( \frac{1}{x^{\alpha}} \) con $\alpha >1$ sono sommabili in \( (1, \infty) \).
Fatto 2: Siano $f,g: (1, + \infty) \to RR$ funzioni continue. Se \( f(x) \sim g(x) \) quando $x \to +\infty$ e $g$ è sommabile, allora anche $f$ è sommabile.
Fatto 1: Le funzioni \( \frac{1}{x^{\alpha}} \) con $\alpha >1$ sono sommabili in \( (1, \infty) \).
Fatto 2: Siano $f,g: (1, + \infty) \to RR$ funzioni continue. Se \( f(x) \sim g(x) \) quando $x \to +\infty$ e $g$ è sommabile, allora anche $f$ è sommabile.
Ho capito, grazie mille 
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