Somma serie di potenze con sviluppi McLaurin
Salve,
mi sono imbattuto in alcuni esercizi relativi a serie di potenze, dopo aver calcolato l'insieme di convergenza, bisogna calcolare la somma della serie utilizzando gli sviluppi in serie di Mac-Laurin..sapete spiegarmi come si fa??
Stavo facendo questo:
$ sum_(n = \1)^(oo ) (log^n x)/(n!) $
mi trovo che l'insieme di convergenza della serie è $(0, oo)$
come faccio ora a calcolare la somma?? Grazie.
mi sono imbattuto in alcuni esercizi relativi a serie di potenze, dopo aver calcolato l'insieme di convergenza, bisogna calcolare la somma della serie utilizzando gli sviluppi in serie di Mac-Laurin..sapete spiegarmi come si fa??
Stavo facendo questo:
$ sum_(n = \1)^(oo ) (log^n x)/(n!) $
mi trovo che l'insieme di convergenza della serie è $(0, oo)$
come faccio ora a calcolare la somma?? Grazie.
Risposte
La serie si riconduce ad una serie di potenze notissima con la sostituzione \(y=\log x\); perciò, per ottenere la sua somma, basta scrivere la somma della serie ausiliaria in \(y\) e poi sostituire a ritroso \(\log x=y\).
Sostituendo $y=logx$ mi esce $ sum_(n = \1)^(oo ) (y^n )/(n!) $ che è lo sviluppo di $e^x$ se non sbaglio, dopo come procedo??
Sostituendo $y=logx$ mi esce $ sum_(n = \1)^(oo ) (y^n )/(n!) $ che è lo sviluppo di $e^x$ se non sbaglio, dopo come procedo??
Sbagli... Guarda bene: 1) la variabile non è \(x\) e 2) manca qualche termine.
giusto quindi dovrebbe essere simile a quello di $e^y$, sostituendo ancora mi ritrovo $e^logx$ quindi $x$, il termine che manca nello sviluppo di taylor dovrebbe essere l'o piccolo giusto??
MOD: anzi no, essendo che la serie parte da $n=1$ ci manca $n=0$, quindi $e^y= 1 + .... $, passando il termine a sinistra ritrovo come risultato finale $x-1$
MOD: anzi no, essendo che la serie parte da $n=1$ ci manca $n=0$, quindi $e^y= 1 + .... $, passando il termine a sinistra ritrovo come risultato finale $x-1$
"$w@n":
il termine che manca nello sviluppo di taylor dovrebbe essere l'o piccolo giusto??
No, guarda bene... La serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\ y^n\) parte dal termine di grado \(1\) e non da quello di grado zero.
Quindi, dato che:
\[
e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ y^n
\]
la somma di \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\ y^n\) non può essere \(e^y\).
Ho modificato il messaggio contemporaneamente alla tua risposta 
Grazie cmq..
E dal punto di vista generale, si risolvono tutti così gli esercizi di questo tipo?? dobbiamo trasformare la serie di potenza in modo tale che diventi uno sviluppo di taylor e poi risostituire???
Grazie cmq..E dal punto di vista generale, si risolvono tutti così gli esercizi di questo tipo?? dobbiamo trasformare la serie di potenza in modo tale che diventi uno sviluppo di taylor e poi risostituire???
Utile..ma nell'esempio pratico, tu hai scritto:
$ - sum_(n >= \1) 1/n y^n $ e ricordando lo sviluppo del $log(1-z)$, la somma può essere riscritta come $log(1-y)$
mi sorge un dubbio, ma se lo sviluppo preciso di $log(1-z)$ è $ sum_(n >= \1) (-1)^(n-1) z^n/n $
come facciamo anche noi a trovarci direttamente $log(1-y)$ ???
Il $(-1)^(n-1)$ non lo consideriamo proprio??
$ - sum_(n >= \1) 1/n y^n $ e ricordando lo sviluppo del $log(1-z)$, la somma può essere riscritta come $log(1-y)$
mi sorge un dubbio, ma se lo sviluppo preciso di $log(1-z)$ è $ sum_(n >= \1) (-1)^(n-1) z^n/n $
come facciamo anche noi a trovarci direttamente $log(1-y)$ ???
Il $(-1)^(n-1)$ non lo consideriamo proprio??
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