Somma serie di potenze
Buonasera a tutti,
sono alle prese con un problema riguardo alla somma di una serie di potenze da cui non riesco a venirne fuori.
La serie in questione è la seguente:
$\sum_{n=0}^\infty\frac{n(x^2-1)}{n+3}^{n+1}$.
Dopo aver posto $\y=x^2+1$ sto cercando di ricondurmi alla serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{(x^n+1)}{n+1}$.
Mi trovo però bloccato! Ho provato ad operare un cambio di variabile con $n+3=m+1$ ma anche aggiustato così il denominatore, non riesco ad ottenere il termine corretto a numeratore.
Per caso è troppo complicata questa via del cambio di variabile? C' è un qualche tipo di semplificazione che mi sfugge?
Grazie in anticipo a tutti
Peace
sono alle prese con un problema riguardo alla somma di una serie di potenze da cui non riesco a venirne fuori.
La serie in questione è la seguente:
$\sum_{n=0}^\infty\frac{n(x^2-1)}{n+3}^{n+1}$.
Dopo aver posto $\y=x^2+1$ sto cercando di ricondurmi alla serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{(x^n+1)}{n+1}$.
Mi trovo però bloccato! Ho provato ad operare un cambio di variabile con $n+3=m+1$ ma anche aggiustato così il denominatore, non riesco ad ottenere il termine corretto a numeratore.
Per caso è troppo complicata questa via del cambio di variabile? C' è un qualche tipo di semplificazione che mi sfugge?
Grazie in anticipo a tutti
Peace
Risposte
Hai $sum_(n=0)^oo n/(n+3) y^(n+1)$, con coefficienti che si scompongono in $1 - 3/(n+3)$; quindi alla fine troverai una serie geometrica, un logaritmo e qualche potenza di $y$ nella somma.
Ciao Ajay,
Benvenuto sul forum!
Supponendo che il testo scritto nell'OP sia corretto, la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n(x^2-1)^{n+1}}{n+3} $
Si vede subito che converge a $0$ per $x^2 - 1 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 1 $ e che per il criterio del rapporto la serie proposta converge per $|x^2 - 1| < 1 $. Per $x = 0 $ la serie non può convergere perché non esiste $\lim_{n \to +\infty} a_n(0) $, avendo posto $a_n(x) := \frac{n(x^2-1)}{n+3}^{n+1} $
Per $|x^2 - 1| = 1 \iff x_{1,2} = \pm \sqrt{2} $ la serie proposta non può convergere in quanto non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy dato che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $
Casomai dopo aver posto $y = x^2 - 1 $, il che significa che la condizione di convergenza diventa $|y| < 1 $
Casomai stai cercando di ricondurti alla serie $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n + 1}}{n+1} $, il che non è una cattiva idea, ma devi prima fare qualche operazione preliminare, una delle quali è quella che ti ha già suggerito gugo82:
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+3} y^{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n + 3 - 3}{n+3} y^{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (1 - \frac{3}{n+3}) y^{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} y^{n+1} - 3 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n+1}}{n+3} = $
$ = y \sum_{n=0}^{+\infty} y^n - 3/y^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n+3}}{n+3} $
ove si è diviso per $y$, ma si sa già che per $y = 0 $ la serie converge a $0$, quindi si può supporre che sia $y \ne 0 $. A questo punto la prima serie è una serie geometrica e dovresti già sapere qual è la somma per $|y| < 1 $, per la seconda conviene porre $m := n + 2 \implies m + 1 = n + 3 $ e si ha:
$ y \sum_{n=0}^{+\infty} y^n - 3/y^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n+3}}{n+3} = y \sum_{n=0}^{+\infty} y^n - 3/y^2 \sum_{m=2}^{+\infty} \frac{y^{m+1}}{m+1} $
A questo punto, tenendo presente che $\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{y^{m+1}}{m+1} = - ln(1 - y) $, dovresti riuscire a concludere, anche se ti dico subito che i conti sono un po' tediosi...
Benvenuto sul forum!
Supponendo che il testo scritto nell'OP sia corretto, la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n(x^2-1)^{n+1}}{n+3} $
Si vede subito che converge a $0$ per $x^2 - 1 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 1 $ e che per il criterio del rapporto la serie proposta converge per $|x^2 - 1| < 1 $. Per $x = 0 $ la serie non può convergere perché non esiste $\lim_{n \to +\infty} a_n(0) $, avendo posto $a_n(x) := \frac{n(x^2-1)}{n+3}^{n+1} $
Per $|x^2 - 1| = 1 \iff x_{1,2} = \pm \sqrt{2} $ la serie proposta non può convergere in quanto non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy dato che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $
"Ajay":
Dopo aver posto $y=x^2+1 $
Casomai dopo aver posto $y = x^2 - 1 $, il che significa che la condizione di convergenza diventa $|y| < 1 $
"Ajay":
sto cercando di ricondurmi alla serie $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n + 1}{n+1} $
Casomai stai cercando di ricondurti alla serie $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n + 1}}{n+1} $, il che non è una cattiva idea, ma devi prima fare qualche operazione preliminare, una delle quali è quella che ti ha già suggerito gugo82:
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+3} y^{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n + 3 - 3}{n+3} y^{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (1 - \frac{3}{n+3}) y^{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} y^{n+1} - 3 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n+1}}{n+3} = $
$ = y \sum_{n=0}^{+\infty} y^n - 3/y^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n+3}}{n+3} $
ove si è diviso per $y$, ma si sa già che per $y = 0 $ la serie converge a $0$, quindi si può supporre che sia $y \ne 0 $. A questo punto la prima serie è una serie geometrica e dovresti già sapere qual è la somma per $|y| < 1 $, per la seconda conviene porre $m := n + 2 \implies m + 1 = n + 3 $ e si ha:
$ y \sum_{n=0}^{+\infty} y^n - 3/y^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n+3}}{n+3} = y \sum_{n=0}^{+\infty} y^n - 3/y^2 \sum_{m=2}^{+\infty} \frac{y^{m+1}}{m+1} $
A questo punto, tenendo presente che $\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{y^{m+1}}{m+1} = - ln(1 - y) $, dovresti riuscire a concludere, anche se ti dico subito che i conti sono un po' tediosi...
Grazie ad entrambi per le risposte, era proprio quella semplificazione alla quale non riuscivo ad arrivare
"pilloeffe":.
Casomai dopo aver posto $ y = x^2 - 1 $
"pilloeffe":Esatte entrambe le correzione, chiedo scusa per le disattenzioni
Casomai stai cercando di ricondurti alla serie $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^{n + 1}}{n+1} $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo