Somma serie di potenze

[ettoremasetti1]

Ciao a tutti ragazzi,
ho un dubbio su un esercizio di Analisi Matematica 1 sulle serie di potenze.

Chiede di calcolare la somma della serie all'interno dell'insieme di convergenza:

$\sum_{n=0}^infty x^n/((n+1)!)$

Io ho calcolato il raggio di convergenza, in quanto serie di potenze in questo modo:
$\r=lim_{n \to \infty} ((n+2)!)/((n+1)!) = +infty$

Dunque riconducendomi alla serie di McLaurin dell'esponenziale:

$\e^x=sum_{n=0}^infty x^n/(n!)$

Ponendo dunque la funzione somma:

$\S(x)=sum_{n=0}^infty x^n/((n+1)!)$
e quindi
$\x*S(x)=sum_{n=0}^infty x^(n+1)/((n+1)!)$

In essa posso riscrivere una parte dell'argomento come integrale della serie di McLaurin dell'esponenziale, e convergendo totalmente posso integrare termine a termine. Dunque:
$\x*S(x)=sum_{n=0}^infty int_0^x (t^n)/(n!)dt$
Integrando dunque
$\x*S(x)= int_0^x (sum_{n=0}^infty((t^n)/(n!)))dt=int_0^x e^t dt =e^x-1$
Di conseguenza:
$\S(x)= (e^x-1)/x$

In conclusione a ciò, io andrei deducendo che la serie converge alla somma S(x) trovata $AAx in RR$, invece nella soluzione compare che la somma S(x) trovata è corretta ma è valida solo tra $-1 Non capisco dove sbaglio, se nel calcolo del raggio di convergenza o nel procedimento complessivo.
Spero qualcuno possa aiutarmi, ringrazio in anticipo.

[quantunquemente]

so che non c'è unanimità su questa cosa,ma io sono tra quelli che ritengono $0^0$ una forma indeterminata
quindi a mio parere non andrebbe considerato il valore $x=0$ per la serie data

[quantunquemente]

va bene così
de gustibus

[ettoremasetti1]

Grazie TeM per la risposta, sei stato chiarissimo
Anche il mio professore ha sottolineate che in questo contesto $0^0=1$, che è l'unico termine della serie che rimane per $x=0$.
Grazie ancora a tutti! Buona giornata