SOMMA SERIE DI MENGOLI...
Ciao ragazzi, ho bisogno d' aiuto su una serie perchè tra qlke giorno ho l' orale di analisi avendo passato lo scritto!
la serie è la seguente: [size=150]serie di n che va da 1 a piu infinito di: (2n+1)/ [n^2 x (n+1)^2][/size] . ( x sta per moltiplicazione!)
La serie è sicuramente convergente in quanto riconducibile alla serie di Mengoli, ma il mio problema è trovare la somma!!!
sto diventando pazzo! ( mi hanno detto che la somma dà 1 ma nn rieco a capire xke!)
ringrazio anticipatamente chi mi darà una mano!
Lorenzo
la serie è la seguente: [size=150]serie di n che va da 1 a piu infinito di: (2n+1)/ [n^2 x (n+1)^2][/size] . ( x sta per moltiplicazione!)
La serie è sicuramente convergente in quanto riconducibile alla serie di Mengoli, ma il mio problema è trovare la somma!!!
sto diventando pazzo! ( mi hanno detto che la somma dà 1 ma nn rieco a capire xke!)
ringrazio anticipatamente chi mi darà una mano!
Lorenzo
Risposte
$sum (2n +1)/(n^2(n^2+1))=sum 1/n^2 - 1/(n+1)^2$ 
"amel":
$sum (2n +1)/(n^2(n^2+1))=sum 1/n^2 - 1/(n+1)^2$
SI LO SO KE SI ARRIVA A QST!!! E POI KE DEVO FARE X OSSERVARE KE LA SOMMA è 1 ??
Sia $S_n$ la somma parziale n-esima.Si ha:
$S_n=sum(1/(n^2)-1/((n+1)^2))=sum(1/(n^2))-sum(1/(n+1)^2)$
Cioe':
$S_n=[1+1/(2^2)+1/(3^2)+...+1/(n^2)]-[1/(2^2)+1/(3^2)+...+1/(n^2)+1/((n+1)^2)]$
Ed eliminando i termini opposti:
$S_n=1-1/((n+1)^2)$ da cui,passando al limite per $n->oo$,si ha appunto:
$lim_(n->oo)S_n=1$
karl
$S_n=sum(1/(n^2)-1/((n+1)^2))=sum(1/(n^2))-sum(1/(n+1)^2)$
Cioe':
$S_n=[1+1/(2^2)+1/(3^2)+...+1/(n^2)]-[1/(2^2)+1/(3^2)+...+1/(n^2)+1/((n+1)^2)]$
Ed eliminando i termini opposti:
$S_n=1-1/((n+1)^2)$ da cui,passando al limite per $n->oo$,si ha appunto:
$lim_(n->oo)S_n=1$
karl
Essendo che la successione delle somme parziali n-esime è per definizione:
$s_k=sum_(n=1)^k(2n +1)/(n^2(n^2+1))=sum_(n=1)^k1/n^2 - 1/(n+1)^2=1-1/4+1/4-1/9+1/9-1/16+1/16+\cdots -1/k^2-1/(k+1)^2=1-1/(k+1)^2$
cioè sopravvivono solo il primo e l'utimo termine; ora, sempre per definizione, la somma della serie è:
$sum_(n=1)^(+infty)(2n +1)/(n^2(n^2+1))=lim_(k->+infty)s_k=lim_(k->+infty)1-1/(k+1)^2=1^-$
cioè la serie converge al valore $1$ per difetto.
$s_k=sum_(n=1)^k(2n +1)/(n^2(n^2+1))=sum_(n=1)^k1/n^2 - 1/(n+1)^2=1-1/4+1/4-1/9+1/9-1/16+1/16+\cdots -1/k^2-1/(k+1)^2=1-1/(k+1)^2$
cioè sopravvivono solo il primo e l'utimo termine; ora, sempre per definizione, la somma della serie è:
$sum_(n=1)^(+infty)(2n +1)/(n^2(n^2+1))=lim_(k->+infty)s_k=lim_(k->+infty)1-1/(k+1)^2=1^-$
cioè la serie converge al valore $1$ per difetto.
grazie karl!
ma cm mai sei stato cosi veloce? cosa fai, studi o insegni??
saluti
ma cm mai sei stato cosi veloce? cosa fai, studi o insegni??
saluti
ma scusa l'avevi già detto tu che la serie è di Mengoli e quindi telescopica... come facevi allora a sapere in pratica cos'è una serie telescopica senza saperla calcolare?
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