Somma serie di funzioni

[mimm8]

ciao :hi ho un problema con un esercizio,dovrei calcolare la somma di questa serie di funzioni:

[math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n+1)!}[/math]

grazie.

[mc2]

Bisogna sempre ricordare gli sviluppi in serie di McLaurin delle funzioni principali:

[math]\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}[/math]

[math]\sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/math]

Sommando queste due serie :

[math]\sin(x)+\sinh(x)=\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots\right)+
\left(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots\right)=[/math]

[math]=\sum_{n=0}^\infty \frac{[1+(-1)^n]x^{2n+1}}{(2n+1)!}
=\sum_{n=0}^\infty \frac{2x^{4n+1}}{(4n+1)!}=2x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n}}{(4n+1)!}
[/math]

quindi

[math]\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n}}{(4n+1)!}=\frac{\sin(x)+\sinh(x)}{2x}[/math]

[mimm8]

partendo da questa serie

[math] \sum_{n=0}^\infty \frac{[1+(-1)^n]x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/math]

come si arriva alla serie

[math]\sum_{n=0}^\infty \frac{2x^{4n+1}}{(4n+1)!}[/math]

grazie.

[mc2]

[math][1+(-1)^n]=\left\{\begin{array}{ll}
0 \quad\quad & \mbox{se } n=2m+1,~~ \mbox{cioe` n dispari} \\
2 & \mbox{se } n=2m,~~ \mbox{cioe` n pari} \end{array}\right.
[/math]

quindi tutti i termini con

[math]n=2m+1[/math]

spariscono dalla serie e rimangono quelli con

[math]n=2m[/math]

, con un fattore 2 davanti.

Quindi

[math]\sin(x)+\sinh(x)=\dots=
\sum_{n=0}^\infty\frac{[1+(-1)^n]x^{2n+1}}{(2n+1)!} =
[/math]

[math]=\sum_{m=0}^\infty\frac{2x^{2(2m)+1}}{(2(2m)+1)!}=
\sum_{m=0}^\infty\frac{2x^{4m+1}}{(4m+1)!}
[/math]

Poi basta ribattezzare

[math]m\to n[/math]