Somma serie di funzioni
Considero la serie $sum_(n=1)^\infty e^(nx)/n$ con $x in RR$.
Osservo subito che è totalmente convergente in $]-infty,a]$ con $a<0$.
Calcoliamone la somma:
Fisso $x<0$ e ricordando che vale l'uniforme convergenza si ha $sum e^(nx)/n= sum int_(-infty)^(x) e^(nt) dt=int_(-infty)^(x) sum e^(nx) = int_(-infty)^(x) sum (e^t)^n$.
Questa è una serie geometrica di ragione $e^t$ che è convergente ($t<0$) quindi si ha $int_(-infty)^(x) 1/(1-e^t)$. A questo punto con il cambio $e^t=y$ l'integrale diventa $log(1/y)-log(1-y)$ da cui $[-t-log(1-e^t)]_(-infty)^x$.
In definitiva allora la somma della serie è $-x-log (1-e^x)$.
Chiedo conferma in quanto il risultato in mio possesso è leggermente diverso -manca $-x$ all'inizio-
Grazie!
EDIT: mi sa che c'è un errore nel calcolo dell'integrale!
Osservo subito che è totalmente convergente in $]-infty,a]$ con $a<0$.
Calcoliamone la somma:
Fisso $x<0$ e ricordando che vale l'uniforme convergenza si ha $sum e^(nx)/n= sum int_(-infty)^(x) e^(nt) dt=int_(-infty)^(x) sum e^(nx) = int_(-infty)^(x) sum (e^t)^n$.
Questa è una serie geometrica di ragione $e^t$ che è convergente ($t<0$) quindi si ha $int_(-infty)^(x) 1/(1-e^t)$. A questo punto con il cambio $e^t=y$ l'integrale diventa $log(1/y)-log(1-y)$ da cui $[-t-log(1-e^t)]_(-infty)^x$.
In definitiva allora la somma della serie è $-x-log (1-e^x)$.
Chiedo conferma in quanto il risultato in mio possesso è leggermente diverso -manca $-x$ all'inizio-
Grazie!
EDIT: mi sa che c'è un errore nel calcolo dell'integrale!
Risposte
A me c'è qualcosa che non torna ancora prima: [tex]$\int_{-\infty}^x\frac{1}{1-e^t}\ dt$[/tex] non converge! Lo vedi subito con la sostituzione, in quanto l'integrale diventa, ponendo [tex]$y=e^t$[/tex]
[tex]$\int_0^{e^x}\frac{1}{y(1-y)}\ dy$[/tex]
che non è integrabile in zero.
EDIT: ah ecco, l''inghippo sta nel fatto che la serie parte da $n=1$ e non $n=0$, per cui [tex]$\sum_{n=1}^\infty (e^t)^n=\frac{e^t}{1-e^t}$[/tex].
[tex]$\int_0^{e^x}\frac{1}{y(1-y)}\ dy$[/tex]
che non è integrabile in zero.
EDIT: ah ecco, l''inghippo sta nel fatto che la serie parte da $n=1$ e non $n=0$, per cui [tex]$\sum_{n=1}^\infty (e^t)^n=\frac{e^t}{1-e^t}$[/tex].
Ah ecco così torna tutto. Ma non capisco da dove esca quella serie, perdona la banalità.
Sarà per caso il termine "aggiunto" per portare $n=1$ a $n=0$?
EDIT: forse perché così posso considerare $e^t sum_(n=1)^(infty) (e^t)^(n-1)$. Giusto?
Sarà per caso il termine "aggiunto" per portare $n=1$ a $n=0$?
EDIT: forse perché così posso considerare $e^t sum_(n=1)^(infty) (e^t)^(n-1)$. Giusto?
mistake... ma se $n=0$ quanto vale $\frac{e^{nx}}{n}$???? 
No, non intendevo nella serie di partenza
Il mio dubbio era circa l'uguaglianza $sum_(n=1)^(infty) e^(tn)=e^t/(1-e^t)$
Poiché $t<0$ allora la serie $(e^t)^n$ è convergente. Inoltre poichè la serie geometrica, di cui conosciamo la somma, ha indice di sommatoria che parte da $n=0$ per ricondurmi a tale serie "raccolgo" $e^t$ in modo da ottenere la seconda uguaglianza.
Volevo dir questo
E' corretto?
PS Oggi non è proprio giornata
Il mio dubbio era circa l'uguaglianza $sum_(n=1)^(infty) e^(tn)=e^t/(1-e^t)$
Poiché $t<0$ allora la serie $(e^t)^n$ è convergente. Inoltre poichè la serie geometrica, di cui conosciamo la somma, ha indice di sommatoria che parte da $n=0$ per ricondurmi a tale serie "raccolgo" $e^t$ in modo da ottenere la seconda uguaglianza.
Volevo dir questo
E' corretto? PS Oggi non è proprio giornata
Ah... bé, in generale
[tex]$\sum_{n=N}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty q^{N+n}=q^N\sum_{n=0}^\infty} q^n=\frac{q^N}{1-q}$[/tex]
[tex]$\sum_{n=N}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty q^{N+n}=q^N\sum_{n=0}^\infty} q^n=\frac{q^N}{1-q}$[/tex]
Sì immaginavo fosse una cosa del genere, ma oggi oltre ad essere tardo, commetto un sacco di svarioni, quindi meglio chiedere 
Grazie mille ciampax
Grazie mille ciampax
Prego!
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