Somma serie con fattoriale

[mimm8]

Ciao :hi ho un problema nel calcolare la somma di questa serie di funzione:

[math] \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}[/math]

grazie.

[mc2]

Prova a derivare rispetto a x, cosi` la n a denominatore si semplifica e dovrebbe essere piu` facile calcolare la somma.

Alla fine dovrai integrare per tornare alla serie originaria

[mimm8]

allora derivo e semplifico la n

[math]f'(x)= [\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}]' =\sum_{n=1}^\infty [\frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}]' = \sum_{n=1}^\infty \frac{3ne^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}=3e^{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx}}}{(n+2)!}[/math]

ponendo

[math]t=e^{3x}[/math]

definisco la serie:

[math]3e^{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n}}}{(n+2)!}= \frac{3e^{2}}{t^{2}}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n+2}}}{(n+2)!}[/math]

fin qui è corretto?

[mc2]

Si` e` corretto. Ora hai la serie esponenziale a cui mancano i primi 3 termini.

[mimm8]

allora

[math] \frac{3e^{2}}{t^{2}}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n+2}}}{(n+2)!}= \frac{3e^{2}}{t^{2}}[\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n}}}{(n)!}-\frac{t^{2}}{2}-t -1]= \frac{3e^{2}}{t^{2}}[e^{t}-\frac{t^{2}}{2}-t -1]=[/math]

[math]=\frac{3e^{t+2}}{t^{2}}-\frac{3e^{2}}{2}-\frac{3e^{2}}{t} - 3t^{2}[/math]

e quindi con la sostituzione fatta in precedenza e semplificando ottengo:

[math]{\mathcal S}=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}=3e^{e^{3x}+2-6x}-\frac{3e^{2}}{2}-3e^{2-3x} - 3e^{6x}[/math]

[mc2]

Calma!

Hai ottenuto la somma della serie derivata

[math]f'(x)[/math]

, non di quella iniziale!


Ora dovresti integrare per ricavare

[math]f(x)[/math]

e qui sorgono i problemi: compare un integrale esponenziale che non si puo` calcolare elementarmente (infatti e` una funzione speciale).

Potrai fare qualche passaggio ma alla fine ti dovrai fermare.

Nel risultato finale rimarra` un integrale. Secondo me non si puo` fare altro.

Aggiunto 43 minuti più tardi:

Riguardando meglio: manca un fattore e^2 nell'ultimo termine:

[math]f'(x)= 3e^2
\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{3nx}}{(n+2)!} =
3e^{e^{3x}+2-6x}-\frac{3e^2}{2}-3e^{2-3x}-3e^{6x+2}
[/math]

[mimm8]

ho capito, grazie :thx