Somma parziale serie a segni alterni
Buongiorno,
ho questo esercizio da risolvere:
Si determini $n_\0$ tale che per ogni $n>n_\0$,
$ 1-1/2+1/2^2-1/2^3+...+(-1)^n1/2^n<0.67 $
ora se fosse stata una serie tutta a termini positivi avrei fatto con la formula delle somme parziali della serie geometrica. ma con i cambi di segno non so come fare.
anche provando a pensare agli sviluppi di Taylor non trovo soluzione, e comunuque quelli mi darebbero la somma totale della serie.
grazie mille
ho questo esercizio da risolvere:
Si determini $n_\0$ tale che per ogni $n>n_\0$,
$ 1-1/2+1/2^2-1/2^3+...+(-1)^n1/2^n<0.67 $
ora se fosse stata una serie tutta a termini positivi avrei fatto con la formula delle somme parziali della serie geometrica. ma con i cambi di segno non so come fare.
anche provando a pensare agli sviluppi di Taylor non trovo soluzione, e comunuque quelli mi darebbero la somma totale della serie.grazie mille
Risposte
Considera che
$1/(2^n)-1/(2^(n+1))=2/(2^(n+1))-1/(2^(n+1))=1/(2^(n+1))$
Dunque la nostra serie diventa
$1/2+1/(2^3)+1/(2^5)+1/(2^7)+...$
Non vado oltre, ma potresti raccogliere un 2 all'inizio in modo da avere potenze (del 2 al denominatore) con indice pari e rapportarti a qualcosa che conosci e di cui conosci pure la somma parziale.
$1/(2^n)-1/(2^(n+1))=2/(2^(n+1))-1/(2^(n+1))=1/(2^(n+1))$
Dunque la nostra serie diventa
$1/2+1/(2^3)+1/(2^5)+1/(2^7)+...$
Non vado oltre, ma potresti raccogliere un 2 all'inizio in modo da avere potenze (del 2 al denominatore) con indice pari e rapportarti a qualcosa che conosci e di cui conosci pure la somma parziale.
wow grazie! così mi pare di trovare in effetti la serie geometrica di ragione $1/4$ .... procedo
trasformo la serie come
$ 2(sum(1/4)^n-1) <0.67 $
$ sum(1/4)^n <0.67/2+1 $
$ (1-(1/4)^(n+1))/(1-1/4) <0.67/2+1 $
$ 1-(1/4)^(n+1) <1.335*4/3 $ $ -(1/4)^(n+1) <0.78 $
$ (1/4)^(n+1) > -0.78 $
che è sempre vero, ma non è il risultato corretto
trasformo la serie come
$ 2(sum(1/4)^n-1) <0.67 $
$ sum(1/4)^n <0.67/2+1 $
$ (1-(1/4)^(n+1))/(1-1/4) <0.67/2+1 $
$ 1-(1/4)^(n+1) <1.335*4/3 $ $ -(1/4)^(n+1) <0.78 $
$ (1/4)^(n+1) > -0.78 $
che è sempre vero, ma non è il risultato corretto
Comunque sì, intendevo
$2(1+1/4+1/(4^2)+1/(4^3)+...)=2 \sum_(k=0)^(\infty) 1/(4^k)$,
ma non capisco
perché sottrai l'uno (e quindi lo riporti di là).
$2(1+1/4+1/(4^2)+1/(4^3)+...)=2 \sum_(k=0)^(\infty) 1/(4^k)$,
ma non capisco
"Peano":
trasformo la serie come
$ 2(sum(1/4)^n-1) <0.67 $
perché sottrai l'uno (e quindi lo riporti di là).
ops! scusa hai ragione... avendo visto l'1/2 all'inizio mi è venuto da mettere il -1 che in effetti non c'è. ok adesso viene giustamente negativo
$ -(1/4)^(n+1)<-498/900 $
$ (n+1)>log_(1/4)(498/900) $
$ n>log_(1/4)(498/900) -1$
mmm sembra essere venuto comunque un numero negativo..
$ -(1/4)^(n+1)<-498/900 $
$ (n+1)>log_(1/4)(498/900) $
$ n>log_(1/4)(498/900) -1$
mmm sembra essere venuto comunque un numero negativo..
Ti chiedo scusa, il mio metodo ha un'evidente incongruenza in questo caso. Si può usare per calcolare la somma complessiva della serie, ma qui è errato. 
Trasformando la nostra serie in una a termini sempre positivi, non ha senso dire "trovare $n_0$ tale che per $n>n_0$ sia sempre sotto un certo valore" perché la serie è a termini positivi. Occorre lasciarla originale con l'alternanza di segni e il resto, ma bisogna comunque scervellarsi un po'.
Comunque non tutto è perduto, basterebbe raccogliere qualcosa senza semplificare troppo.
Tu hai
$1-1/2+1/(2^2)-1/(2^3)+1/(2^4)-1/(2^5)+...$
e fino a qui nulla di che.
Isoliamo i termini positivi e quelli negativi.
$1+1/(2^2)+1/(2^4)+...-1/2-1/(2^3)-1/(2^5)-...=\sum_(n=0)^\infty 1/(2^(2n))-2(1/(2^2)+1/(2^4)+...)=$
$=\sum_(n=0)^(\infty) 1/(2^(2n))-2(-1+\sum_(n=0)^\infty 1/(2^(2n)))=2-\sum_(n=0)^\infty (1/(2^(2n)))=$
$=2-\sum_(n=0)^\infty 1/(4^n)$
E in questo caso ha senso chiedersi per quale indice da lì in poi si vada sempre sotto un certo valore.
Un ultimo appunto. Una volta trovato $n$ devi moltiplicarlo per 2 perché la ragione 1/4 l'abbiamo data solo per comodità di calcoli (senza cambiare indici) e occorre tornare all'un mezzo precedente.
Trasformando la nostra serie in una a termini sempre positivi, non ha senso dire "trovare $n_0$ tale che per $n>n_0$ sia sempre sotto un certo valore" perché la serie è a termini positivi. Occorre lasciarla originale con l'alternanza di segni e il resto, ma bisogna comunque scervellarsi un po'.
Comunque non tutto è perduto, basterebbe raccogliere qualcosa senza semplificare troppo.
Tu hai
$1-1/2+1/(2^2)-1/(2^3)+1/(2^4)-1/(2^5)+...$
e fino a qui nulla di che.
Isoliamo i termini positivi e quelli negativi.
$1+1/(2^2)+1/(2^4)+...-1/2-1/(2^3)-1/(2^5)-...=\sum_(n=0)^\infty 1/(2^(2n))-2(1/(2^2)+1/(2^4)+...)=$
$=\sum_(n=0)^(\infty) 1/(2^(2n))-2(-1+\sum_(n=0)^\infty 1/(2^(2n)))=2-\sum_(n=0)^\infty (1/(2^(2n)))=$
$=2-\sum_(n=0)^\infty 1/(4^n)$
E in questo caso ha senso chiedersi per quale indice da lì in poi si vada sempre sotto un certo valore.
Un ultimo appunto. Una volta trovato $n$ devi moltiplicarlo per 2 perché la ragione 1/4 l'abbiamo data solo per comodità di calcoli (senza cambiare indici) e occorre tornare all'un mezzo precedente.
sì ma così.... non perderebbe il senso perchè dipende dall'ordinamento degli addendi?
per me è un esercizio sbagliato di concetto
per me è un esercizio sbagliato di concetto
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