Somma parziale di coseni

[melli13]

Salve ragazzi, ho bisogno di aiuto! Non ne esco più da questo esercizio!
Devo verificare per quali $theta$ la serie $\sum_{n=1}^N cos(n\theta)$ converga.
Io sarei tentata di dire per tutti i $\theta$ perchè maggiorerei ogni termine della somma con 1 sapendo che è il massimo valore che può assumere il coseno e perciò: $\sum_{n=1}^N cos(n\theta)<=N$

Eppure ho trovato in rete un esercizio che mi chiede prima di dimostare che $\sum_{n=0}^N cos(n\theta)=1/2+(cos(N\theta)-cos((N+1)\theta))/(2(1-cos\theta)) AA \theta!=2kpi$ e da qui dedurne che questa somma parziale sia limitata! Come conosglio dice: "Ricorda che $e^(ni\theta)=cos(n\theta)+isen(n\theta)$ e utilizzate i numeri complessi"
Allora nel mio ragionameto c'è una falla! Dove sbaglio? E come si risolve l'esercizio con il consiglio del libro? Grazie mille ragazzi!!

[dissonance]

Tieni presente che \(N\to \infty\), quindi quella stima che hai trovato non serve a molto. E d'altra parte, la serie non è a termini positivi, quindi anche una stima $\sum_1^N \cos(n\theta)\le C$ non ti servirebbe a concludere.

Per risolvere l'esercizio, scrivi \(\sum_1^N \cos(n\theta)=\Re \sum_1^N e^{in\theta}\) e osserva che \(e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n\).

[Erasmus_First]

"melli13":[...] verificare per quali $theta$ la serie $\sum_{n=1}^N cos(n\theta)$ converga.

Mettiamoci d'accordo sul vocabolario!
Nel linguaggio matematico italiano una serie è una somma di infiniti addendi, quindi la somma di un numero finito di addendi non è una serie ... e chiedersi se una tale somma coverge o no non ha alcun senso.

Ad ogni serie corrisponde una successione i cui termini sono le somme parziali. Precisamente:
Sia $\sum_{k=0}^∞ a_k$ una serie. Ad essa è associata la successione ${S_n}$ i cui termini sono:
$S_0 = a_0$; $S_1 = a_0 + a_1$; $S_2 = a_0 + a_1+a_2$; ...
$∀n∈NN$ $S_n= \sum_{k=0}^n a_k$.
Chiedersi se una serie converge o no equivale a chiedersi se la successione ad essa associata converge o no.
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Venendo alla serie $\sum_{k=1}^∞ cos(kθ)$, ossia alla successione
$«\ S_0 = 0$; Per ogni $N$ intero positivo $S_N =\sum_{k=0}^N cos(kθ).\ »$
è facile trovare quanto vale $S_N$ passando per il campo complesso dove (indicando con $j$ l'unità immaginaria):
$cos(kθ)= (e^(jkθ)+e^(-jkθ))/2$.
Se $θ$ è congruo 0 modulo 2π (ossia se $θ$ è un multiplo [intero] di 2π), ovviamente $cos(kθ)= 1$ per qualsiasi $k$ intero e quindi $S_N = N$. In ogni altro caso $cos(θ)≠1$ e quindi si può procedere come segue.
$\sum_{k=0}^N cos(kθ) =1/2(e^(jθ) + e^(j2θ) +...+e^(jN)θ)) +1/2(e^(-jθ) + e^(-j2θ) +...+e^(-jNθ)) = $
$=1/2e^(jθ)(1-e^(jNθ))/(1- e^(jθ))+1/2e^(-jθ)(1-e^(-jNθ))/(1- e^(-jθ))=1/2((e^(jθ)-1)(1-e^(jNθ)) +(e^(-jθ)-1)(1-e^(-jNθ)))/(2-e^(jθ)-e^(-jθ))=$

$=(1/2(e^(jθ)+e^(-jθ)) - 1/2(e^(j(N+1)θ)+e^(-j(N+1)θ)) -1+1/2(e^(jNθ)+e^(-jNθ)))/(2(1-(e^(jθ)+e^(-jθ))/2)$$=$
$=1/2(cos(θ)-1+cos(Nθ)-cos((N+1)θ))/(1-cos(θ)) = 1/2(cos(Nθ)-1 +(sin(Nθ)sin(θ))/(1-cos(θ)))=$
$= 1/2(cos(Nθ)-1 +sin(Nθ)/sin(θ)(1+cos(θ)))$.
Nell'ultima espressione si noti che per ogni $N$ intero positivo $sin(Nθ)$ è divisibile per $sin(θ)$ come si trova subito ragionando per induzione dato che
$sin((N+1)θ)/sin(θ) = sin(Nθ)/sin(θ)cos(θ)+cos(Nθ)$.

Riassumendo:
• la serie $\sum_{k=0}^∞ cos(kθ)$ è limitata per ogni $θ$ tranne $θ$ congruo 0 modulo 2π (ossia $θ$ multiplo [intero] di 2π). .
• Non converge per alcun $θ$.
• Diverge a $+∞$ per $θ$ congruo 0 modulo 2π (perché allora $cos(kθ)=1$ per ogni $k$ intero).

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[melli13]

@Erasmus_First Non ti arrabbiare con me
Hai ragione, ho fatto un po' di confusione, forse perchè è quella che ho in testa (però vedi che il titolo l'ho messo giusto )
Io non capisco perchè mi hai scritto nelle conclusioni che la serie è limitata. Ho fatto i calcoli sia nel modo che mi hai consigliato tu, sia come mi ha consigliato @dissonance e, usando in entrambi i casi una disuguaglianza triangolare, sono arrivata alla conclusione che $|sum_{n=1}^N cos(n\theta)|$ è limitata! Perchè tu dici che addirittura la serie è limitata? Per il fatto che lo stesso discorso lo posso ripetere per ogni N? Alla fine N sta sempre dentro le funzioni goniometriche e non mi crea problemi...è per questo motivo?
A parte questo piccolo dettaglio, grazie mille!! Ho capito perchè non posso prendere $\theta=2kpi$ altrimenti mi si annulla il denominatore quando faccio la somma parziale della serie geometrica!
@dissonance Non ho capito il discorso della maggiorazione che avevo fatto! Hai ragione, la somma parziale non è tutta a termini positivi, ma io prendo il massimo che è 1...perchè non dovrebbe essere sempre limitata anche per $\theta=0$? Tanto i termini sono finiti e al massimo varrà N!