Somma parziale

[Rax1]

non riesco a capire come si trova la somma parziale delle serie!! qualcuno riescea spiegare in modo abbastanza chiaro (non cm sui libri da cui non riesco proprio a campirci niente) e magari anche con un esempio!! spero di non aver chiesto troppo. Grazie mille

[ViciousGoblin]

Mettiamo che la serie sia $\sum_{n=1}^\infty 1/n$.
Allora
$S_1=1/1=1$
$S_2=1/1+1/2=3/2$
$S_3=1/1+1/2+1/3=11/6$
$S_4=1/1+1/2+1/3+1/4=25/12$
$S_5=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5=137/60$
.
.
.
$S_n=1/1+1/2+...+1/n=???$ non si puo' trovare una formula, ma qualcosa sara'

[Rax1]

e quindi quando noi dobbiamo trovare lim n->inf sn=s per la convergenza di una serie numerica ad es, cosa mettiamo come sn?

[Sk_Anonymous]

Come spiegato da ViciousGoblin, in definitiva una somma parziale ha la forma $S_n=\sum_{i=0}^n a_i$, dove $a_i$ è l'i-mo termine della serie. Se calcoli $lim_{n to +oo}S_n$, trovi la somma della serie (se esiste).
Esempio facile facile:
$sum_{n=0}^{infty}(1/2)^n$. abbiamo che $S_n=(1-(1/2)^n)/(1-1/2)$ (progressione geometrica). Ora, se calcoli, $lim_{x to +oo}S_n$, ottieni $2$, che è proprio il valore a cui converge la serie.

[ViciousGoblin]

"Rax":e quindi quando noi dobbiamo trovare lim n->inf sn=s per la convergenza di una serie numerica ad es, cosa mettiamo come sn?

mettiamo $a_1+a_2+...+a_n$

Naturalmente se non conosciamo una formula che ci permette di esprimere $S_n$ in termini di $n$ puo' essere difficile/impossibile calcolare il limite di $S_n$.
Ma i matematici non demordono e riescono a trovare delle informazioni su quel limite anche senza calcolarlo. In effetti il problema principale delle
serie non e' (di solito) calcolare la serie ma dire se questa converge o diverge (o se e' indeterminata).

[Rax1]

sì ma è proprio quell'Sn che faccio fatica a trovare e nn capisco cm trovarlo... per esempio ho la serie num di 3/10^n ma non so che procedimento si usa per capire che Sn=(1/3)*(1-(1/10^n))!?

[aleph_91]

$(x^n-1)=(x-1)(1+x+...+x^{n-1})$

[Sk_Anonymous]

http://it.wikipedia.org/wiki/Progressione_geometrica

Qua dovresti trovare risposta ai tuoi dubbi.

[Rax1]

sì, è già più chiaro! grazie mille

[Sk_Anonymous]

Figurati

[gugo82]

In effetti il problema delle serie è proprio quello che, nella stragrande maggioranza dei casi, non si conosce l'espressione esplicita della successione delle somme parziali.

Proprio per questo ci si accontenta di stabilire la convergenza di una serie e non si va a cercare la sua somma; proprio per questo sono stati stabiliti diversi criteri di convergenza (radice, rapporto, Leibniz, Cauchy, Kummer, Gauss, per citare i più famosi), ma nessun metodo generale per trovare le somme.