Somma e prodotto di radici n-sime

[mishima]

Salve, avrei una domanda sui numeri complessi

Dato un numero complesso z e n un numero intero positivo....
Un esercizio assegnatomi dalla mia prof mi chiede di specificare perchè la somma delle n-radici di numeri complessi è sempre zero e perchè il prodotto delle n-radici dia sempre -z (cioè il numero complesso cambiato di segno)

Con la somma mi trovo con i risultati (provati su matlab), con il prodotto non mi trovo se n è dispari (da risultato del programma, ritorna z).
Che sia una domanda trabocchetto o è un mio errore?

E cosa piu' importante, qualcuno potrebbe spiegarmi perchè la somma delle radici da sempre 0 e il prodotto -z ?

Cioè le radici in caso di n-pari sono uguali e opposte e allora è normale dia 0, ma se n è dispari non sono uguali e opposte tuttavia danno sempre zero. Per il prodotto non so che pesci pigliare, mi servirebbe una bella spiegazione da 1 esperto.

Grazie in anticipo

[gugo82]

Detto in modo raffinato...
Fissiamo un numero complesso [tex]$\zeta$[/tex]; le [tex]$n$[/tex] radici [tex]$n$[/tex]-esime distinte di [tex]$\zeta$[/tex], diciamole [tex]$\zeta_0,\ldots, \zeta_{n-1}$[/tex], sono gli zeri del polinomio [tex]$z^n-\zeta$[/tex] (ossia le soluzioni dell'equazione [tex]$z^n-\zeta =0$[/tex]); allora si può fattorizzare il polinomio [tex]$z^n-\zeta$[/tex] come prodotto di [tex]$z-\zeta_0,\ z-\zeta_1, \ldots ,\ z-\zeta_{n-1}$[/tex], cioè:

[tex]$z^n-\zeta =\prod_{k=0}^{n-1} (z-\zeta_k)$[/tex].

Sviluppando il prodotto al secondo membro si trova (vedi qui):

[tex]$\prod_{k=0}^{n-1} (z-\zeta_k) =\sum_{h=0}^n (-1)^{n-h}\ S_h(\zeta_1,\ldots ,\zeta_n)\ z^h$[/tex],

quindi:

[tex]$z^n-\zeta = \sum_{h=0}^n (-1)^{n-h}\ S_h(\zeta_1,\ldots ,\zeta_n)\ z^h$[/tex].

Per concludere basta applicare il principio d'identità dei polinomi.
Questa dimostrazione ti indica infatti una proprietà più forte delle radici [tex]$n$[/tex]-esime: esse sono tali che ogni funzione simmetrica elementare [tex]$S_h$[/tex] su [tex]$n$[/tex] oggetti con indice [tex]$0
Detto in modo becero...
Fissato [tex]$\zeta$[/tex], scrivi esplicitamente le radici [tex]$n$[/tex]-esime e fai un po' di conti.

[mishima]

ciao, grazie per la risposta

Purtroppo ho dei dubbi.

Cosa sono queste funzioni simmetriche di base?
Sono un po complicate mi potresti fare un esempio numerico con n=3 , z=2+i
Questo è il grafico


I risultati in coordinate cartesiane sono
a =

-0.8204
-0.4717
1.2921


b =

1.0183
-1.2196
0.2013

In coordinate polari

ro =

1.3077
1.3077
1.3077


theta =

2.2489
-1.9398
0.1545


sum =

-8.8818e-016 -1.6653e-016i (praticamente 0)


prod =

2.0000 + 1.0000i

Se le radici fattorizzate danno $z^n -\zeta$ (e mi trovo lo dice anche il libro) il prod perchè da z come risultato? Tra l'altro la traccia dell'esercizio diceva che dava sempre -z
E le somme delle radici danno 0 ok, numericamente mi trovo, ma il perchè non l'ho ancora capito, anche perchè dal grafico non mi sembrano simmetriche tra loro.

[mishima]

up

[gugo82]

Facciamo [tex]$N=3$[/tex], tanto per semplificare.

Diciamo [tex]$\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2$[/tex] le radici terze distinte di un fissato numero complesso non nullo [tex]$\zeta$[/tex] (se [tex]$\zeta=0$[/tex] la cosa da provare è banalissima); è noto che esse sono gli unici tre zeri del polinomio [tex]$z^3-\zeta$[/tex], sicché hai:

[tex]$z^3-\zeta =(z-\zeta_0)(z-\zeta_1)(z-\zeta_2)$[/tex]
[tex]$=(z-\zeta_0)[z^2-(\zeta_1+\zeta_2)\ z+\zeta_1\zeta_2]$[/tex]
[tex]$=z^3 -(\zeta_0+\zeta_1+\zeta_2)\ z^2 +[\zeta_0(\zeta_1+\zeta_2)+\zeta_1\zeta_2]\ z-\zeta_0\zeta_1\zeta_2$[/tex]
[tex]$=z^3 - (\zeta_0+\zeta_1+\zeta_2)\ z^2 + (\zeta_0\zeta_1+\zeta_0\zeta_2+\zeta_1\zeta_2)\ z -(\zeta_0\zeta_1\zeta_2)$[/tex].

Poniamo (permettimi un cambiamento d'indici rispetto al post precedente... Sarà più chiaro quando farò il caso generale):

[tex]$S_3(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=\zeta_0\zeta_1\zeta_2$[/tex]
[tex]$S_2(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=\zeta_0\zeta_1+\zeta_0\zeta_2+\zeta_1\zeta_2$[/tex]
[tex]$S_1(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=\zeta_0+\zeta_1+\zeta_2$[/tex]
[tex]$S_0(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=1$[/tex]

le quali sono le quattro funzioni simmetriche elementari sui tre oggetti [tex]$\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2$[/tex]; come vedi la funzione simmetrica [tex]$S_h$[/tex] d'indice [tex]$h>0$[/tex] è la somma di tutti i possibili prodotti di [tex]$h$[/tex] fattori scelti tra [tex]$\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2$[/tex] senza ripetizioni (infatti [tex]$S_3$[/tex] è fatta dall'unico prodotto possibile con tutti e tre i fattori, [tex]$S_2$[/tex] dalla somma dei tre prodotti possibili con due fattori, [tex]$S_1$[/tex] dalla somma dei tre prodotti possibili con un solo fattore), mentre [tex]$S_0$[/tex] è sempre [tex]$=1$[/tex].
Con questa notazione possiamo scrivere:

[tex]$z^3-\zeta =S_0(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)\ z^3 -S_1(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)\ z^2 +S_2(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)\ z -S_3(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)$[/tex];

il principio d'identità dei polinomi asserisce che due polinomi sul campo complesso sono identicamente uguali se e solo se essi hanno i coefficienti ordinatamente uguali: ciò importa:

[tex]$S_0(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=1$[/tex] (e questo lo sapevamo già per definizione)
[tex]$-S_1(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=0\quad \Rightarrow \quad \zeta_0+\zeta_1+\zeta_2=0$[/tex] (primo risultato utile)
[tex]$S_2(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=0\quad \Rightarrow \quad \zeta_0\zeta_1+\zeta_0\zeta_2+\zeta_1\zeta_2 =0$[/tex]
[tex]$-S_3(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2)=-\zeta\quad \Rightarrow \quad \zeta_0\zeta_1\zeta_2=\zeta$[/tex] (secondo risultato utile).


Nel caso generale, il polinomio [tex]$z^N-\zeta$[/tex] si fattorizza come prodotto:

[tex]$z^N-\zeta =\prod_{k=0}^{N-1} (z-\zeta_k)$[/tex]

ove i [tex]$\zeta_k$[/tex] sono le [tex]$N$[/tex] radici [tex]$N$[/tex]-esime distinte di [tex]$\zeta$[/tex]; sviluppando l'ultimo prodotto con l'uso delle [tex]$N+1$[/tex] funzioni simmetriche elementari sugli [tex]$N$[/tex] oggetti [tex]$\zeta_0,\ldots, \zeta_{N-1}$[/tex] si ottiene per la produttoria l'espressione estesa:

[tex]$\prod_{k=0}^{N-1} (z-\zeta_k) =\sum_{k=0}^N (-1)^{N-k}\ S_{N-k}(\zeta_0,\ldots ,\zeta_{N-1})\ z^k$[/tex]*

sicché risulta:

[tex]$z^N-\zeta =\sum_{k=0}^N (-1)^{N-k}\ S_{N-k}(\zeta_0,\ldots ,\zeta_{N-1})\ z^k$[/tex]

ed il principio d'identità dei polinomi implica:

[tex]$(-1)^{N-k} S_{N-k}(\zeta_0,\ldots ,\zeta_{N-1}) =\begin{cases} 1 &\text{, se $k=N$} \\ 0 &\text{, se $0
in particolare:

[tex]$-\sum_{k=0}^{N-1} \zeta_k =-S_1(\zeta_1,\ldots ,\zeta_{N-1}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=0}^{N-1} \zeta_k=0$[/tex] (primo risultato utile)

[tex]$(-1)^N \prod_{k=0}^{N-1} \zeta_k =(-1)^N\ S_N (\zeta_0,\ldots ,\zeta_{N-1}) = -\zeta \quad \Rightarrow \quad \prod_{k=0}^{N-1} \zeta_k=(-1)^{N-1} \zeta$[/tex] (secondo risultato utile).

Quindi se [tex]$N$[/tex] è dispari il prodotto delle radici è [tex]$=\zeta$[/tex], mentre se [tex]$N$[/tex] è pari esso è [tex]$=-\zeta$[/tex] (come avevi intuito).


__________
* Ricorda: per [tex]$0
[tex]$S_4(\zeta_0,\ldots ,\zeta_{N-1}) =\sum_{0\leq k_1< k_2< k_3< k_4\leq N-1} \zeta_{k_1} \zeta_{k_2} \zeta_{k_3} \zeta_{k_4}$[/tex].
Mentre [tex]$S_0(\zeta_0,\ldots ,\zeta_{N-1}) =1$[/tex] sempre.

[mishima]

ti ringrazio, sei stato veramente gentile a scrivere una spiegazione cosi' precisa, adesso ho capito