Somma diretta di spazi L^2
Se abbiamo una famiglia [tex](\mathfrak{H}_j)_{j\in J}[/tex] al più numerabile di spazi di Hilbert, convenendo di indicare con [tex]\sum \psi_j[/tex] gli elementi del prodotto cartesiano [tex]\prod \mathfrak{H}_j[/tex] possiamo definire la somma diretta ortogonale come
[tex]$\bigoplus_{j\in J} \mathfrak{H}_j=\{\sum_{j\in J}\psi_j \left\mid\right \psi_j \in \mathfrak{H}_j,\ \sum_{j\in J} \lVert \psi_j \rVert^2 < \infty \},\quad \left( \sum_{j \in J} \psi_j, \sum_{j \in J} \varphi_j\right) =\sum_{j \in J} (\psi_j, \varphi_j )[/tex]
si dimostra che lo spazio così ottenuto è esso stesso di Hilbert.
Ora mi sono imbattuto in spazi costruiti sommando a questa maniera degli [tex]L^2[/tex]; precisamente ho una famiglia al più numerabile [tex]\mu_j[/tex] di misure Boreliane e finite su [tex]\mathbb{R}[/tex] e lo spazio di Hilbert
[tex]$\mathfrak{H}=\bigoplus_{j\inJ} L^2(\mathbb{R}, \mu_j)[/tex] ;
la domanda è: posso costruire uno spazio di misura [tex](M, \mu)[/tex] in modo tale che il corrispondente spazio [tex]L^2(M, \mu)[/tex] sia unitariamente isomorfo a [tex]\mathfrak{H}[/tex]?
In termini più terra-terra, un prodotto di spazi [tex]L^2[/tex] si può identificare con un solo spazio [tex]L^2[/tex]?
[tex]$\bigoplus_{j\in J} \mathfrak{H}_j=\{\sum_{j\in J}\psi_j \left\mid\right \psi_j \in \mathfrak{H}_j,\ \sum_{j\in J} \lVert \psi_j \rVert^2 < \infty \},\quad \left( \sum_{j \in J} \psi_j, \sum_{j \in J} \varphi_j\right) =\sum_{j \in J} (\psi_j, \varphi_j )[/tex]
si dimostra che lo spazio così ottenuto è esso stesso di Hilbert.
Ora mi sono imbattuto in spazi costruiti sommando a questa maniera degli [tex]L^2[/tex]; precisamente ho una famiglia al più numerabile [tex]\mu_j[/tex] di misure Boreliane e finite su [tex]\mathbb{R}[/tex] e lo spazio di Hilbert
[tex]$\mathfrak{H}=\bigoplus_{j\inJ} L^2(\mathbb{R}, \mu_j)[/tex] ;
la domanda è: posso costruire uno spazio di misura [tex](M, \mu)[/tex] in modo tale che il corrispondente spazio [tex]L^2(M, \mu)[/tex] sia unitariamente isomorfo a [tex]\mathfrak{H}[/tex]?
In termini più terra-terra, un prodotto di spazi [tex]L^2[/tex] si può identificare con un solo spazio [tex]L^2[/tex]?
Risposte
Credo di avere trovato. La risposta è si, ed è anche piuttosto semplice. Con le notazioni del post precedente sia [tex]J[/tex] un sottoinsieme di [tex]\mathbb{N}[/tex] e per ogni [tex]j \in J[/tex] sia [tex]M_j[/tex] lo spazio di misura [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B},\mu_j)[/tex]. Si tratta di una quantità al più numerabile di rette dotate di una misura Boreliana. Immaginiamo di disporre ognuna di queste rette in un piano cartesiano in modo che la [tex]j[/tex]-esima abbia ordinata costante [tex]j[/tex]:
[asvg]xmin=-8; xmax=8; ymin=0; ymax=5; axes(1,1,"labels");
for (var y=0; y< 6; y++) {
line([-10,y], [10, y]);}[/asvg]
chiamiamo allora [tex]M[/tex] l'unione delle [tex]M_j[/tex]. Definiamo poi una sigma-algebra su [tex]M[/tex] mediante la
[tex]$B\in \mathcal{M} \iff B \cap M_j \in \mathcal{B}_j[/tex]
ovvero, una parte [tex]B[/tex] di [tex]M[/tex] è misurabile se e solo se lo sono tutte le intersezioni di [tex]B[/tex] con le rette [tex]M_j[/tex]. Osserviamo inoltre che ogni tale [tex]B[/tex] si scompone in una unione disgiunta [tex]$B=\cap_{j \in J} B_j[/tex] dove [tex]B_j[/tex] è una parte misurabile di [tex]M_j[/tex].
Usiamo questo per costruire la misura [tex]\mu[/tex] su [tex]M[/tex]:
[tex]$\mu(B)=\sum_{j \in J} \mu_j(B_j)[/tex]
Questo completa la costruzione dello spazio [tex](M, \mu)[/tex]. L'osservazione fondamentale è che per ogni funzione misurabile e positiva [tex]g[/tex] su [tex]M[/tex] si ha
[tex]$\int_M g \, d\mu=\sum_{j \in J} \int_{M_j}g|_{M_j}\, d\mu_j[/tex]
Ora fabbrichiamo un operatore lineare:
[tex]$U\colon \bigoplus_{j \in J} L^2(\mu_j) \to L^2(\mu),\quad \sum_{j \in J}f_j(x_j) \mapsto \sum_{j \in J}f_j(x) \chi_{M_j}(x)[/tex]
dall'osservazione precedente si ha che per ogni [tex]\bold{f}=\sum_j f_j \in \bigoplus_{j \in J} L^2(\mu_j)[/tex] risulta
[tex]$\lVert U\bold{f} \rVert^2_{L^2(\mu)}=\sum_{j \in J} \lVert f_j \rVert^2_{L^2(\mu_j)}[/tex]
un'occhiata alla definizione di [tex]\bigoplus_j L^2(\mu_j)[/tex] mostra che [tex]U[/tex] è ben definito e anche isometrico (conserva le norme), quindi in particolare è ingettivo. Resta solo da mostrare che è surgettivo, il che è subito visto:
se [tex]f \in L^2(\mu)[/tex] allora ogni [tex]f|_{M_j}[/tex] si può considerare elemento di [tex]L^2(\mu_j)[/tex]: definiamo [tex]\bold{f}=\sum_{j \in J} f|_{M_j}(x_j)[/tex] (N.B.: La somma è nel senso di somma esterna ortogonale, non è la somma di [tex]L^2(\mu)[/tex]).
Risulta evidentemente che [tex]U\bold{f}=f[/tex].
[asvg]xmin=-8; xmax=8; ymin=0; ymax=5; axes(1,1,"labels");
for (var y=0; y< 6; y++) {
line([-10,y], [10, y]);}[/asvg]
chiamiamo allora [tex]M[/tex] l'unione delle [tex]M_j[/tex]. Definiamo poi una sigma-algebra su [tex]M[/tex] mediante la
[tex]$B\in \mathcal{M} \iff B \cap M_j \in \mathcal{B}_j[/tex]
ovvero, una parte [tex]B[/tex] di [tex]M[/tex] è misurabile se e solo se lo sono tutte le intersezioni di [tex]B[/tex] con le rette [tex]M_j[/tex]. Osserviamo inoltre che ogni tale [tex]B[/tex] si scompone in una unione disgiunta [tex]$B=\cap_{j \in J} B_j[/tex] dove [tex]B_j[/tex] è una parte misurabile di [tex]M_j[/tex].
Usiamo questo per costruire la misura [tex]\mu[/tex] su [tex]M[/tex]:
[tex]$\mu(B)=\sum_{j \in J} \mu_j(B_j)[/tex]
Questo completa la costruzione dello spazio [tex](M, \mu)[/tex]. L'osservazione fondamentale è che per ogni funzione misurabile e positiva [tex]g[/tex] su [tex]M[/tex] si ha
[tex]$\int_M g \, d\mu=\sum_{j \in J} \int_{M_j}g|_{M_j}\, d\mu_j[/tex]
Ora fabbrichiamo un operatore lineare:
[tex]$U\colon \bigoplus_{j \in J} L^2(\mu_j) \to L^2(\mu),\quad \sum_{j \in J}f_j(x_j) \mapsto \sum_{j \in J}f_j(x) \chi_{M_j}(x)[/tex]
dall'osservazione precedente si ha che per ogni [tex]\bold{f}=\sum_j f_j \in \bigoplus_{j \in J} L^2(\mu_j)[/tex] risulta
[tex]$\lVert U\bold{f} \rVert^2_{L^2(\mu)}=\sum_{j \in J} \lVert f_j \rVert^2_{L^2(\mu_j)}[/tex]
un'occhiata alla definizione di [tex]\bigoplus_j L^2(\mu_j)[/tex] mostra che [tex]U[/tex] è ben definito e anche isometrico (conserva le norme), quindi in particolare è ingettivo. Resta solo da mostrare che è surgettivo, il che è subito visto:
se [tex]f \in L^2(\mu)[/tex] allora ogni [tex]f|_{M_j}[/tex] si può considerare elemento di [tex]L^2(\mu_j)[/tex]: definiamo [tex]\bold{f}=\sum_{j \in J} f|_{M_j}(x_j)[/tex] (N.B.: La somma è nel senso di somma esterna ortogonale, non è la somma di [tex]L^2(\mu)[/tex]).
Risulta evidentemente che [tex]U\bold{f}=f[/tex].
Scusa non ho capito una cosa: ma all'inizio parli di "prodotto cartesiano" tra spazi di hilbert...ma non è il prodotto tensore?
No è diverso. Il prodotto tensoriale che io sappia è un'altra cosa (più complicata IMHO). Questa è la stessa costruzione che fai per passare da [tex]\mathbb{R}[/tex] a [tex]\ell^2[/tex]: nel prodotto cartesiano infinito
[tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \ldots[/tex]
scegli solo quegli elementi [tex](x_1, x_2, \ldots)[/tex] tali che [tex]\sum \lvert x_n \rvert ^2 < \infty[/tex]. Poi definisci un prodotto scalare e una norma sullo spazio vettoriale così costruito, e ti viene fuori [tex]\ell^2[/tex]. La somma diretta ortogonale è la generalizzazione di questa costruzione al caso in cui in luogo di [tex]\mathbb{R}[/tex] hai uno spazio di Hilbert arbitrario.
[tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \ldots[/tex]
scegli solo quegli elementi [tex](x_1, x_2, \ldots)[/tex] tali che [tex]\sum \lvert x_n \rvert ^2 < \infty[/tex]. Poi definisci un prodotto scalare e una norma sullo spazio vettoriale così costruito, e ti viene fuori [tex]\ell^2[/tex]. La somma diretta ortogonale è la generalizzazione di questa costruzione al caso in cui in luogo di [tex]\mathbb{R}[/tex] hai uno spazio di Hilbert arbitrario.
Ah ok avevo capito che lì fosse un'altra cosa! grazie, come solito 
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