Somma di una serie di potenze

[Catanzani1]

Salve ragazzi, mi servirebbe un vostro parere su come trovare la somma di una serie di potenze:

\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!(n+2)} \)

Intendevo procedere in questo modo:

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!(n+2)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)x^{2n}}{(n+2)(n+1)n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)x^{2n}}{(n+2)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n(x^{2})^{n-1}}{(n+1)!}=\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(x^{2})^{n}}{(n+1)!} \)

sfruttando la derivazione per serie, e magari riconducendomi a serie note come quella del seno o del coseno, ma l'ultima serie che ottengo non è riconducibile a nessuna di esse. Inoltre non può nemmeno essere ricondotta ad una serie esponenziale, in quanto questa non ha il termine che determina l'oscillazione del segno, come invece compare nella serie in questione.

Avete dei suggerimenti?

Distinti saluti

[Stickelberger]

Suggerimento: considerare $\frac{d}{dx}(x^4f(x))$.

[ciampax]

"Catanzani":
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!(n+2)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)x^{2n}}{(n+2)(n+1)n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)x^{2n}}{(n+2)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n(x^{2})^{n-1}}{(n+1)!}\neq\)
\(\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(x^{2})^{n}}{(n+1)!} \)

Attento: quando inserisci la derivazione scrivi una grossa fesseria. La derivata di $(x^2)^n$ è $n(x^2)^{n-1}\cdot 2x$, per cui quel passaggio non va bene. Io farei Un cambiamento di variabile ponendo $t=x^2$, ragionando su $t$ e poi ritornando alla $x$. In questo modo ha senso il passaggio con la derivazione.