Somma di una serie di potenze
Salve, ho problemi con la risoluzione di un esercizio dell'ultimo appello di analisi 2 che ho provato a dare, e in generale con l'argomento di cui tratta, le serie di funzioni.
L'esercizio è il seguente: determinare l'insieme di convergenza della serie di potenze reali
$ sum_(n = 2)^(oo) 1/(1-n) x^n $
e l'espressione esplicita della sua somma in detto insieme di convergenza.
L'insieme di convergenza si trova facilmente con i teoremi per il raggio di convergenza, che risulta 1.
Il problema è la seconda parte. So che la somma di una serie di funzioni non è cosa semplice da trovare, e che deve essere ricondotta ad uno sviluppo di Taylor, ma non somiglia a nessuno sviluppo che conosco o che sono riuscito a trovare! Sono convinto che in realtà sia una cavolata... Forse sto affrontando il problema in modo sbagliato, o forse ho capito male il testo dell'esercizio... Qualche anima gentile sa darmi una mano? =(
L'esercizio è il seguente: determinare l'insieme di convergenza della serie di potenze reali
$ sum_(n = 2)^(oo) 1/(1-n) x^n $
e l'espressione esplicita della sua somma in detto insieme di convergenza.
L'insieme di convergenza si trova facilmente con i teoremi per il raggio di convergenza, che risulta 1.
Il problema è la seconda parte. So che la somma di una serie di funzioni non è cosa semplice da trovare, e che deve essere ricondotta ad uno sviluppo di Taylor, ma non somiglia a nessuno sviluppo che conosco o che sono riuscito a trovare! Sono convinto che in realtà sia una cavolata... Forse sto affrontando il problema in modo sbagliato, o forse ho capito male il testo dell'esercizio... Qualche anima gentile sa darmi una mano? =(
Risposte
Ma come non assomiglia!
Praticamente quella serie ce l'ha scritto in faccia che è parente del logaritmo. Infatti una delle serie del logaritmo è [tex]$\ln (1-y)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^n$[/tex], quindi:
[tex]$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{1-n}\ x^n=-x\cdot \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1}\ x^{n-1}$[/tex]...
Praticamente quella serie ce l'ha scritto in faccia che è parente del logaritmo. Infatti una delle serie del logaritmo è [tex]$\ln (1-y)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^n$[/tex], quindi:
[tex]$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{1-n}\ x^n=-x\cdot \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1}\ x^{n-1}$[/tex]...
Ah ok!!
Avevo già trovato una soluzione simile (era
$ sum_(n = 1)^(oo) 1/(1-n-1) x^(n+1) = -x sum_(n = 1)^(oo) 1/n x^n $ ), ma non sapevo che il logaritmo di 1-x avesse quello sviluppo!! Grazie mille, ci stavo diventando matto! =)
Avevo già trovato una soluzione simile (era
$ sum_(n = 1)^(oo) 1/(1-n-1) x^(n+1) = -x sum_(n = 1)^(oo) 1/n x^n $ ), ma non sapevo che il logaritmo di 1-x avesse quello sviluppo!! Grazie mille, ci stavo diventando matto! =)
Uhm, faccio una cosa terribile, postando un messaggio dopo l'altro... Ma a questo punto mi chiedevo: non è che sapreste indicarmi un sito, un documento o un riferimento contenente un elenco ben fornito di sviluppi di Taylor? Così la prossima volta eviterò di fare figuracce U.U''
Non è sbagliata; ti manca solo un [tex]$-$[/tex] davanti al fattore [tex]$x$[/tex] prima della sommatoria finale (infatti al denominatore non ti rimane [tex]$n$[/tex], ma [tex]$-n$[/tex]).
Praticamente tu hai fatto prima la sostituzione d'indici e poi hai portato la [tex]$x$[/tex] fuori dalla somma; io proponevo le stesse operazioni, ma in ordine inverso.
Lo sviluppo del logaritmo si ricava dalla serie geometrica per integrazione.
P.S.: Conoscevo un Beren che giocava a WoW su RoC...
P.P.S.: Ah, prima avevo sbagliato un segno: è [tex]$-\ln (1-y) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^n$[/tex].
Praticamente tu hai fatto prima la sostituzione d'indici e poi hai portato la [tex]$x$[/tex] fuori dalla somma; io proponevo le stesse operazioni, ma in ordine inverso.
Lo sviluppo del logaritmo si ricava dalla serie geometrica per integrazione.
P.S.: Conoscevo un Beren che giocava a WoW su RoC...
P.P.S.: Ah, prima avevo sbagliato un segno: è [tex]$-\ln (1-y) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^n$[/tex].
Eheh, sì, mi sono reso conto dell'errore mentre la riscrivevo =)
P.S. Se hai fatto in tempo a conoscermi nei livelli dall'1 al 20 è possibile, ma non mi pare di aver giocato in quel server specifico...
P.P.S. Oook, registrato!
P.S. Se hai fatto in tempo a conoscermi nei livelli dall'1 al 20 è possibile, ma non mi pare di aver giocato in quel server specifico...
P.P.S. Oook, registrato!
[OT]
RoC è un server unofficial italiano (di GamesNet).
Il Beren che conoscevo era un paladino, se non erro, nella gilda WaG.
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RoC è un server unofficial italiano (di GamesNet).
Il Beren che conoscevo era un paladino, se non erro, nella gilda WaG.
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[OT] Sicuro non ero io, se lo incontri di nuovo digli che ha scelto un bel nome per il suo pg! [/OT]
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