Somma di una serie di potenze

[emmeci1]

Sapreste darmi qualche idea per dimostrare che la somma di una serie di potenze è continua all'interno del disco di convergenza?

[dissonance]

Ti dice niente il teorema che mette in relazione continuità e convergenza uniforme?

[emmeci1]

Io so per ipotesi che la serie $ sum a(n) (z)^(n) $ converge uniformemente all'interno del disco di convergenza, cioè esiste una funzione z tale che $ ||sum a(n) z(x)^(n) - z(x)| | leq epsilon $, allora posso dire che $ ||z(x)-z(x0)| |leq ||z(x)-sum a(n) (z)(x)^(n)| | +||sum a(n) (z)(x)^(n)-sum a(n) (z)(x0)^(n)| | + ||sum a(n) (z)(x0)^(n)-z(x0)| | $, ogni addendo della somma è $ leq epsilon$, quindi z è continua. Ha senso tutto ciò?

[dissonance]

Non ha senso. Però ti stai avvicinando. La serie di potenze converge uniformemente in ogni sottointervallo compatto dell'intervallo di convergenza. Inoltre ogni addendo è continuo e da qui deriva che la somma è continua nell'interno dell'intervallo di convergenza. Devi però sistemare i dettagli.

[emmeci1]

come faccio a dire che ogni addendo è continuo?

[dissonance]

Beh una domanda più ovvia non potevi farla. Scrivi un addendo, e vedi un po' se non è continuo.