Somma di una serie di Potenze
Salve a tutti, ho un problema molto spesso a trovare la somma di serie di funzioni. Da ciò che ho capito bisogna cercare sempre di aiutarsi sfruttando le serie di taylor e svolgendo opportuni passaggi algebrici, se è troppo dispensioso farlo sulla serie iniziale, si può provare ad integrare e vedere se è piu facile arrivare a qualche somma finita dall'integrale della serie, in modo che poi, derivando l'integrale posso ottenere piu facilmente la somma associata alla serie di di partenza (ovviamente tutto ciò previa verifica della convergenza).
In un caso del genere: $\sum_{n=2}^infty x^(2n-1)/((n-1)!)$ La soluzione conclude che la somma finita è $x*(e^(x^2)-1) $ e lo deduce manipolando la serie iniziale, senza passare per l'integrazione. Ho pensato che si riscrive la serie in questa forma $ x * \sum_{n=2}^infty x^(2n-2)/((n-1)!)$ in modo da avere il termine in comune n-1 e poter procedere con una sostituzione k=n-1 --> $ x * \sum_{n=2}^infty x^((2*(n-1))/((n-1)!)$ da cui--> $ x * \sum_{k=2}^infty x^((2k)/(k!)$ e quindi riesco a dedurre da dove esce $ x* e^(x^2)$ ma non capisco con quali passaggi algebrici riesco a dedurre il resto della soluzione e anche come gestire il fatto che la serie di taylor parta da 0 invece quella che ho io da n=2, ho pensato di valutare la somma per n=0 ed n=1 e sottrarli alla soluzione (che invece parte da 0) ma cosi facendo se valuto la somma per n=0 , mi esce un denominatore 0 il che mi fa capire che stia sbagliando qualcosa.
In un caso del genere: $\sum_{n=2}^infty x^(2n-1)/((n-1)!)$ La soluzione conclude che la somma finita è $x*(e^(x^2)-1) $ e lo deduce manipolando la serie iniziale, senza passare per l'integrazione. Ho pensato che si riscrive la serie in questa forma $ x * \sum_{n=2}^infty x^(2n-2)/((n-1)!)$ in modo da avere il termine in comune n-1 e poter procedere con una sostituzione k=n-1 --> $ x * \sum_{n=2}^infty x^((2*(n-1))/((n-1)!)$ da cui--> $ x * \sum_{k=2}^infty x^((2k)/(k!)$ e quindi riesco a dedurre da dove esce $ x* e^(x^2)$ ma non capisco con quali passaggi algebrici riesco a dedurre il resto della soluzione e anche come gestire il fatto che la serie di taylor parta da 0 invece quella che ho io da n=2, ho pensato di valutare la somma per n=0 ed n=1 e sottrarli alla soluzione (che invece parte da 0) ma cosi facendo se valuto la somma per n=0 , mi esce un denominatore 0 il che mi fa capire che stia sbagliando qualcosa.
Risposte
ho un problema molto spesso a trovare la somma di serie di funzioni.Per le poche per cui si può...
La serie \(\sum_{n\ge 2} \frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=x^3 + x^5/2 + \dots\) è uguale a \(x\sum_{n\ge 2} \frac{x^{2n-2}}{(n-1)!}=x(x^2 + x^4/2 + \dots)\), ossia a \(x\sum_{k\ge 1} \frac{x^{2k}}{k!}=x(\sum_{k\ge 0} \frac{x^{2k}}{k!}-1)\), e ora, siccome \(\exp(x^2) = \sum_{k\ge 0} \frac{x^{2k}}{k!}\)...
Non potrebbe essere anche visto in questo modo ?
$
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!}-x=
x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}-x
$
$
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!}-x=
x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}-x
$
"megas_archon":ho un problema molto spesso a trovare la somma di serie di funzioni.Per le poche per cui si può...
La serie \(\sum_{n\ge 2} \frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=x^3 + x^5/2 + \dots\) è uguale a \(x\sum_{n\ge 2} \frac{x^{2n-2}}{(n-1)!}=x(x^2 + x^4/2 + \dots)\), ossia a \(x\sum_{k\ge 1} \frac{x^{2k}}{k!}=x(\sum_{k\ge 0} \frac{x^{2k}}{k!}-1)\), e ora, siccome \(\exp(x^2) = \sum_{k\ge 0} \frac{x^{2k}}{k!}\)...
Grazie per la risposta, non ho ben capito i passaggi che fai quando cambi gli indici, prima nel passaggio a k>=1 e poi a k>=0 se puoi spiegarmeli piu nel dettaglio sarebbe meglio. E infine mi chiedo: se hai dentro il -1 è lecito comunque sostituirti la serie con $e^(x^2) nonostante ci sia il -1 dentro? Perchè comunque la serie a cui mi ispiro per sostituirla sarebbe quella dell'esponenziale ma che non mi sembra abbia il -1
Sono massaggi del tutto standard.
Quando scrivo \(\sum_{n\ge 2} \frac{x^{2n-2}}{(n-1)!}=\sum_{k\ge 1} \frac{x^{2k}}{k!}\) sto cambiando l'indice di somma, che è muto (cioè può essere rinominato a piacere, a patto di sostituire di conseguenza all'interno dell'espressione che si sta "integrando": è una forma di "teorema di cambio di variabili"), e se \(k :=n-1\), allora \(n=2,3,4,\dots\) significa \(k=1,2,3,\dots\); poi, \(\exp(x^2) = \sum_{k\ge 0} \frac{x^{2k}}{k!}\), che significa che \(\exp(x^2)-1 = \sum_{k\ge 1} \frac{x^{2k}}{k!}\), visto che all'indice \(k=0\) \(x^0/0!=1\).
Quando scrivo \(\sum_{n\ge 2} \frac{x^{2n-2}}{(n-1)!}=\sum_{k\ge 1} \frac{x^{2k}}{k!}\) sto cambiando l'indice di somma, che è muto (cioè può essere rinominato a piacere, a patto di sostituire di conseguenza all'interno dell'espressione che si sta "integrando": è una forma di "teorema di cambio di variabili"), e se \(k :=n-1\), allora \(n=2,3,4,\dots\) significa \(k=1,2,3,\dots\); poi, \(\exp(x^2) = \sum_{k\ge 0} \frac{x^{2k}}{k!}\), che significa che \(\exp(x^2)-1 = \sum_{k\ge 1} \frac{x^{2k}}{k!}\), visto che all'indice \(k=0\) \(x^0/0!=1\).
Ciao nico_engineering_dd,
Attenzione che il passaggio che hai scritto nell'OP è errato innanzitutto perché il fattoriale è nella posizione sbagliata, poi perché se poni $ k = n - 1 $ e $n$ parte da $2$ è evidente che l'indice $k$ parte da $1$, non da $2$...
Quindi si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} x^(2n-1)/((n-1)!) = x \cdot \sum_{n=2}^{+\infty} x^(2n-2)/((n-1)!) \stackrel [k = n - 1]{=} x \cdot \sum_{k=1}^{+\infty} x^(2k)/(k!) = x \cdot (\sum_{k=0}^{+\infty} ((x^2)^k)/(k!) - 1) = x \cdot (e^(x^2)-1) $
"nico_engineering_dd":
[...] sostituzione k=n-1 --> $x * \sum_{n=2}^infty x^((2*(n-1))/((n-1)!)$ da cui--> $x * \sum_{k=2}^infty x^((2k)/(k!)$ e quindi [...]
Attenzione che il passaggio che hai scritto nell'OP è errato innanzitutto perché il fattoriale è nella posizione sbagliata, poi perché se poni $ k = n - 1 $ e $n$ parte da $2$ è evidente che l'indice $k$ parte da $1$, non da $2$...
Quindi si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} x^(2n-1)/((n-1)!) = x \cdot \sum_{n=2}^{+\infty} x^(2n-2)/((n-1)!) \stackrel [k = n - 1]{=} x \cdot \sum_{k=1}^{+\infty} x^(2k)/(k!) = x \cdot (\sum_{k=0}^{+\infty} ((x^2)^k)/(k!) - 1) = x \cdot (e^(x^2)-1) $
"pilloeffe":
Ciao nico_engineering_dd,
[quote="nico_engineering_dd"][...] sostituzione k=n-1 --> $x * \sum_{n=2}^infty x^((2*(n-1))/((n-1)!)$ da cui--> $x * \sum_{k=2}^infty x^((2k)/(k!)$ e quindi [...]
Attenzione che il passaggio che hai scritto nell'OP è errato innanzitutto perché il fattoriale è nella posizione sbagliata, poi perché se poni $ k = n - 1 $ e $n$ parte da $2$ è evidente che l'indice $k$ parte da $1$, non da $2$...
Quindi si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} x^(2n-1)/((n-1)!) = x \cdot \sum_{n=2}^{+\infty} x^(2n-2)/((n-1)!) \stackrel [k = n - 1]{=} x \cdot \sum_{k=1}^{+\infty} x^(2k)/(k!) = x \cdot (\sum_{k=0}^{+\infty} ((x^2)^k)/(k!) - 1) = x \cdot (e^(x^2)-1) $[/quote]
Si, me ne sono accorto dopo, ti ringrazio comunque per avermelo fatto notare!
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