Somma di una serie di potenze
Non riesco a calcolare la somma di questa serie di potenze.
$ sum_(n=0)^oo 1/(n^2+1)x^n $
Ha il centro in 0 e l'intervallo in cui converge totalmente è questo $ ]-1,1 [ $
Ho derivato i termini della serie per vedere se la serie delle derivate fosse convergente ma i termini della serie delle derivate vengono "strani".
$ 1/2+2/5x+3/10x^2+4/17x^3+5/26x^4+... $
Anche i termini della serie degli integrali vengono "strani"
$ x+x^2/4+x^3/15+x^4/40+x^5/85+... $
Forse non converge a una funzione elementare. Se è così per caso sapete a quale funzione converge ?
Grazie in anticipo
$ sum_(n=0)^oo 1/(n^2+1)x^n $
Ha il centro in 0 e l'intervallo in cui converge totalmente è questo $ ]-1,1 [ $
Ho derivato i termini della serie per vedere se la serie delle derivate fosse convergente ma i termini della serie delle derivate vengono "strani".
$ 1/2+2/5x+3/10x^2+4/17x^3+5/26x^4+... $
Anche i termini della serie degli integrali vengono "strani"
$ x+x^2/4+x^3/15+x^4/40+x^5/85+... $
Forse non converge a una funzione elementare. Se è così per caso sapete a quale funzione converge ?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao Daniele_97,
Direi senza forse...
$\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2+1}$ = [tex]\frac{1}{2}[{}_2F_1(-i, 1; 1 - i; x) + {}_2F_1(i, 1; 1 + i; x)][/tex]
per $|x| \le 1$, ove [tex]{}_2F_1(a, b; c; x)[/tex] è la funzione ipergeometrica.
"Daniele_97":
Forse non converge a una funzione elementare.
Direi senza forse...
$\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2+1}$ = [tex]\frac{1}{2}[{}_2F_1(-i, 1; 1 - i; x) + {}_2F_1(i, 1; 1 + i; x)][/tex]
per $|x| \le 1$, ove [tex]{}_2F_1(a, b; c; x)[/tex] è la funzione ipergeometrica.
Grazie mille
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