Somma di una serie di funzioni
Buonasera ! Mi sono presentata diverso tempo fa, sono una studentessa di ingegneria ! Sto cominciando a fare esercizi sulle seriedi funzioni, e mi sono bloccata sul calcolo di una somma che non mi viene e non riesco a capire dove sbaglio! Metto di seguito il procedimento, sperando di non sbagliare a scrivere (è la prima volta che ci provo).
Questa è la serie, di cui devo calcolare la somma:
$\sum_{k=0}^infty ((2k+3)/(k+2))*x^(3k)$
pensavo di procedere così:
$\sum_{k=0}^infty ((2k+4)/(k+2))*x^(3k)-\sum_{k=0}^infty ((1/(k+2))*x^(3k))=$
$\sum_{k=0}^infty (2)*x^(3k)-\sum_{k=2}^infty (1/(k))*x^(3k-6)=$ (qui ho cambiato l'indice, da k=0 a k=2)
$\sum_{k=0}^infty ((2)*x^(3k))-(1/(x^6))$($\sum_{k=2}^infty (1/(k))*x^(3k))=$
$(2/(1-(x^3)))-(1/x^6)*log(1/(1-(x)^3))$
credo di non avere ancora molta praticità con le sommatorie e temo di aver fatto qualche errore proprio usandole. vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
Questa è la serie, di cui devo calcolare la somma:
$\sum_{k=0}^infty ((2k+3)/(k+2))*x^(3k)$
pensavo di procedere così:
$\sum_{k=0}^infty ((2k+4)/(k+2))*x^(3k)-\sum_{k=0}^infty ((1/(k+2))*x^(3k))=$
$\sum_{k=0}^infty (2)*x^(3k)-\sum_{k=2}^infty (1/(k))*x^(3k-6)=$ (qui ho cambiato l'indice, da k=0 a k=2)
$\sum_{k=0}^infty ((2)*x^(3k))-(1/(x^6))$($\sum_{k=2}^infty (1/(k))*x^(3k))=$
$(2/(1-(x^3)))-(1/x^6)*log(1/(1-(x)^3))$
credo di non avere ancora molta praticità con le sommatorie e temo di aver fatto qualche errore proprio usandole. vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
Risposte
Allora, la prima sommatoria è corretta. Ma nella seconda stai facendo un po' di confusione. Quella che vuoi usare è la seguente serie:
$\log(1+t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\cdot {t^k}/{k}$
Come osservi giustamente, in questo caso andrebbe sostituito $t=-x^3$: così facendo ottieni
$\log(1-x^3)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\cdot {(-x^3)^k}/{k}=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\cdot (-1)^k\cdot {x^{3k}}/k=-\sum_{k=1}^\infty {x^{3k}}/{k}=-x^3-\sum_{k=2}^\infty {x^{3k}}/{k}$
pertanto
$\sum_{k=2}^\infty {x^{3k}}/{k}=-x^3-\log(1-x^3)$
$\log(1+t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\cdot {t^k}/{k}$
Come osservi giustamente, in questo caso andrebbe sostituito $t=-x^3$: così facendo ottieni
$\log(1-x^3)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\cdot {(-x^3)^k}/{k}=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\cdot (-1)^k\cdot {x^{3k}}/k=-\sum_{k=1}^\infty {x^{3k}}/{k}=-x^3-\sum_{k=2}^\infty {x^{3k}}/{k}$
pertanto
$\sum_{k=2}^\infty {x^{3k}}/{k}=-x^3-\log(1-x^3)$
Allora:
$\sum_{k=0}^(+infty)(2k+3)/(k+2)*x^(3k)=\sum_{k=0}^(+infty)(2-1/(k+2))*x^(3k)=\sum_{k=0}^(+infty)2*x^(3k)-\sum_{k=0}^(+infty)1/(k+2)*x^(3k)$
$\{(\sum_{k=0}^(+infty)2*x^(3k)=2/(1-x^3)),(\sum_{k=0}^(+infty)1/(k+2)*x^(3k)=-1/x^3-1/x^6log(1-x^3)):} rarr \sum_{k=0}^(+infty)(2k+3)/(k+2)*x^(3k)=2/(1-x^3)+1/x^3+1/x^6log(1-x^3)$
Ho scritto la somma della seconda serie senza riportare i passaggi. Magari, conoscendo il risultato, riesci a correggere il tuo procedimento.
@ciampax
Abbiamo risposto quasi contemporaneamente. Spero che i risultati coincidano.
$\sum_{k=0}^(+infty)(2k+3)/(k+2)*x^(3k)=\sum_{k=0}^(+infty)(2-1/(k+2))*x^(3k)=\sum_{k=0}^(+infty)2*x^(3k)-\sum_{k=0}^(+infty)1/(k+2)*x^(3k)$
$\{(\sum_{k=0}^(+infty)2*x^(3k)=2/(1-x^3)),(\sum_{k=0}^(+infty)1/(k+2)*x^(3k)=-1/x^3-1/x^6log(1-x^3)):} rarr \sum_{k=0}^(+infty)(2k+3)/(k+2)*x^(3k)=2/(1-x^3)+1/x^3+1/x^6log(1-x^3)$
Ho scritto la somma della seconda serie senza riportare i passaggi. Magari, conoscendo il risultato, riesci a correggere il tuo procedimento.
@ciampax
Abbiamo risposto quasi contemporaneamente. Spero che i risultati coincidano.
Si speculor, mi pare di sì: tu hai già moltiplicato per $1/x^6$. 
@ciampax
Grazie mille, ho capito dove ho sbagliato !
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