Somma di una serie di Fourier in un punto
Ciao a tutti! 
Oggi mi sono imbattuta in un esercizio forse semplicissimo, ma, non uscendomi il risultato suggeritoci dal professore, credo di sbagliare qualcosa nello svolgimento :/
Data la funzione 2π-periodica f(x) = (x - π)^2 per -π < x ≤ π, si tratta di determinare la somma della sua serie di Fourier nel punto x=3π.
Io ho ragionato così: potrei utilizzare la formula \(\displaystyle \[f(x) = a_{0}/2 + \sum_{n=1}^{+ inf} a_{n} cos(nx) + b_{n} sen(nx)\] \)
e so che f(x=3π) = il valore che sto cercando, no?
Altrimenti potrei utilizzare l'uguaglianza di Parseval...
p.s.ho già fatto ricerche nel forum ma nulla mi ha chiarito le idee per bene
Aspettando un suggerimento ringrazio ancora gli admin del fantastico forum!
Miriam
Oggi mi sono imbattuta in un esercizio forse semplicissimo, ma, non uscendomi il risultato suggeritoci dal professore, credo di sbagliare qualcosa nello svolgimento :/
Data la funzione 2π-periodica f(x) = (x - π)^2 per -π < x ≤ π, si tratta di determinare la somma della sua serie di Fourier nel punto x=3π.
Io ho ragionato così: potrei utilizzare la formula \(\displaystyle \[f(x) = a_{0}/2 + \sum_{n=1}^{+ inf} a_{n} cos(nx) + b_{n} sen(nx)\] \)
e so che f(x=3π) = il valore che sto cercando, no?
Altrimenti potrei utilizzare l'uguaglianza di Parseval...
p.s.ho già fatto ricerche nel forum ma nulla mi ha chiarito le idee per bene
Aspettando un suggerimento ringrazio ancora gli admin del fantastico forum!
Miriam
Risposte
Non è detto che la serie di Fourier di una funzione converga puntualmente a quella funzione
La richiesta è quella di costruire la serie $a_0/2 + \sum_{n=1}^{+\infty}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]$, vedere se la serie converge per $x=3\pi$ e in quel caso (provare a) calcolarne la somma (che potrebbe non essere $0=f(3\pi)$, e infatti non lo è
). Che risultato ottieni in questo modo?
La richiesta è quella di costruire la serie $a_0/2 + \sum_{n=1}^{+\infty}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]$, vedere se la serie converge per $x=3\pi$ e in quel caso (provare a) calcolarne la somma (che potrebbe non essere $0=f(3\pi)$, e infatti non lo è
). Che risultato ottieni in questo modo?
ciao coffee, grazie dell'aiuto! ho compreso la prima parte ma mi blocco a fare la somma di quella serie (che mi viene del tipo Leibniz):
\(\displaystyle \[\sum_{1}^{+inf} \frac {4 ((\pi ^{2}n^{2} - 1 ) sen(\pi n) + \pi n cos(\pi n))}{\pi n^{3}} (-1)^{n}\] \)
che converge. (giusto?)
non capisco che criterio/regola devo utilizzare per calcolarne la somma :/
\(\displaystyle \[\sum_{1}^{+inf} \frac {4 ((\pi ^{2}n^{2} - 1 ) sen(\pi n) + \pi n cos(\pi n))}{\pi n^{3}} (-1)^{n}\] \)
che converge. (giusto?)
non capisco che criterio/regola devo utilizzare per calcolarne la somma :/
Prego! Se sostituisci i valori $\sin(n\pi)=0$, $\cos(n\pi)=(-1)^n$, vedi che l'esercizio si riduce a calcolare $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$. Conosci la somma di questa serie?
Vero! Che leggerezza non aver pensato a sostituire!
Si, la somma di quella serie è π^2/6, giusto?
Si, la somma di quella serie è π^2/6, giusto?
Sì
ok! quindi in sostanza la somma della serie, cioè il risultato dell'esercizio, è π^2/6?
Se è così in realtà non combacia con il risultato del prof, ovvero 2(π^2), ma può sempre aver errato il mio professore
Se è così in realtà non combacia con il risultato del prof, ovvero 2(π^2), ma può sempre aver errato il mio professore
Attenzione che $\sum_{n=1}^{+\infty}[a_n\cos(n\pi)+b_n\sin(n\pi)]=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{n^2}$.
Per trovare il risultato finale devi ancora aggiungere $a_0/2$.
Per trovare il risultato finale devi ancora aggiungere $a_0/2$.
Ok, perfetto, mi esce! Scusa l'infinito disturbo, ora mi è davvero chiaro come procedere! 
Grazie mille coffee!
Grazie mille coffee!
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