Somma di una serie

[alle.fabbri]

Ciao a tutti!
Sapendo che (assumo di ricordarmi correttamente questa...)
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{64}[/tex]
cosa posso dire di
[tex]\sum_{l=1}^{\infty} \frac{1}{(4l^2+4l-3)^2}[/tex]

Se ho impostato bene il problema che sto trattando (se servono i dettagli li posto) dovrebbe fare lo stesso risultato ma mi pare strano...qualche suggerimento?

[gugo82]

Non viene.

Facendo un po' di conti (ad esempio, scomponi in fratti semplici gli addendi), ti accorgi che vien fuori un numero diverso da [tex]\frac{\pi^2}{6}[/tex] da quella seconda somma.

[antani2]

ma la prima serie c'è /6, non /64, quella è una serie famosissima...

[gugo82]

D'oh! (Homer J. Simpson)

Non me n'ero accorto...

Tuttavia, che il risultato delle due somme non sia lo stesso continua ad esser vero.

[krek1]

Posta i dettagli ma non mi pare abbiano lo stesso risultato.

[alle.fabbri]

Allora...il problema è di meccanica quantistica e recita

In un buca infinita di larghezza $a$ si trova una particella nello stato fondamentale. Se improvvisamente la buca viene allargata fino a $2a$ calcolare la probabilità che la particella sia in uno degli stati della nuova buca.

Lo stato fondamentale della buca di larghezza $a$ è
[tex]\phi_0(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} sin \frac{\pi}{a}x \qquad 0 mentre gli autostati della buca di larghezza $2a$ sono
[tex]\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{a}} sin \frac{n \pi}{2a}x \qquad 0 dunque l'ampiezza di probabilità per l'autostato $n$ è data da
[tex]c_n = < \psi_n | \phi_0 > = \frac{\sqrt{2}}{a}} \int_0^a sin ( \frac{\pi}{a}x) sin (\frac{n \pi}{2a}x) dx[/tex]
se non ho sbagliato i conti viene
[tex]c_n = \left\lbrace \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \text{, } n=2 \\ 0 \text{, } n=2l , l=2,3,4... \\ \frac{\sqrt{2}}{\pi} \frac{4}{4l^2+4l-3} \text{, } n=2l+1 , l=0,1,2,3... \end{matrix} \right.[/tex]
ora siccome le probabilità sono date da [tex]P_n = |c_n|^2[/tex] e si sommano a $1$ ottengo
[tex]\sum \frac{32}{\pi^2 (4l^2+4l-3)^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/tex]
da cui la domanda iniziale....

[antani2]

Ma dov'è che usi la serie $sum1/n^2$? NOn mi pare ti sia servita per giungere al risultato..Che mi sembra giusto per altro...

[alle.fabbri]

@antani
aspetta...il risultato è da dimostrare. Io sto solo dicendo che siccome le probabilità si sommano a $1$ allora la serie ha quel risultato ma non l'ho dimostrato, il mio è un ragionamento ex post.

Il punto di tutto è dimostrare se la relazione sussista. E pensavo che si potesse ragionare come suggeriva gugo utilizzando i fratti semplici...però mi blocco. Ad esempio. Se considero la serie
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+3)^2} = \sum_{m=4}^{\infty} \frac{1}{(m)^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{\pi^2}{6} -\frac{49}{36}[/tex]
è giusto come ragionamento?

[antani2]

vabeh ma se il problema è giusto e gli stati sono correttamente normalizzati penso che sia giusto che la somma sia quella, cioè una di dimostrazione un'uguaglianza di Parseval in sostanza, visto che stai dicendo che la somma dei coefficienti modulo al quadrato sia uguale alla norma della tua funzione al quadrato (che però è 1, essendo un elemento della "vecchia" base ortonormale...)

[gugo82]

Ho fatto un po' di conti, quindi ci provo.

Innanzitutto noto che [tex]$4l^2+4l-3=(2l+1)^2-4=(2l-1)(2l+3)$[/tex], ergo:

[tex]$\frac{1}{(4l+4l-3)^2}=\frac{1}{(2l-1)^2(2l+3)^2}$[/tex];

decomponendo in fratti semplici si trova (modulo errori di calcolo):

[tex]$\frac{1}{(2l-1)^2(2l+3)^2} =\frac{1}{32}\ \left( \frac{1}{2l+3}-\frac{1}{2l-1}\right) +\frac{1}{16}\ \left( \frac{1}{(2l-1)^2} +\frac{1}{(2l+3)^2}\right)$[/tex],

cosicché:

[tex]$\sum \frac{1}{(2l-1)^2(2l+3)^2} =\frac{1}{32}\ \underbrace{\sum \frac{1}{2l+3}-\frac{1}{2l-1}}_{A} +\frac{1}{16}\ \underbrace{\sum \frac{1}{(2l-1)^2}}_{B} +\frac{1}{16}\ \underbrace{\sum \frac{1}{(2l+3)^2}}_{C}$[/tex]

e, per determinare la somma della serie al primo membro basta determinare le somme delle serie [tex]$A,B,C$[/tex] al secondo.

Cominciamo da B e C: ricordato che:

[tex]$\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l)^2} =\frac{1}{4}\ \sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{l^2} =\frac{1}{4}\ \frac{\pi^2}{6}$[/tex],

per cui:

[tex]$\frac{\pi^2}{6} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} $[/tex]
[tex]$=\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l)^2} + \sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l-1)^2} $[/tex]
[tex]$=\frac{1}{4}\ \frac{\pi^2}{6} +\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l-1)^2} $[/tex]

e conseguentemente:

(B) [tex]$\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l-1)^2} =\frac{3}{4}\ \frac{\pi^2}{6}$[/tex].

Da ciò segue anche:

[tex]$\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l+3)^2} =\sum_{l=3}^{+\infty} \frac{1}{(2l-1)^2} $[/tex]
[tex]$= \sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l-1)^2} -1-\frac{1}{9}$[/tex],

ovvero:

(C) [tex]$\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{(2l+3)^2}=\frac{3}{4}\ \frac{\pi^2}{6} -\frac{10}{9}$[/tex].

Per quanto riguarda A, noto che la serie è pressoché telescopica e risulta:

[tex]$\sum_{l=1}^{L} \frac{1}{2l+3}-\frac{1}{2l-1} =-1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2L+1}+\frac{1}{2L+3}$[/tex],

cosicché passando al limite per [tex]$L\to +\infty$[/tex] si ha:

(A) [tex]$\sum_{l=1}^{+\infty} \frac{1}{2l+3}-\frac{1}{2l-1} =-\frac{4}{3}$[/tex].

Pertanto, mettendo insieme i risultati (A)-(C), si ottiene:

[tex]$\sum \frac{1}{(4l^2+4l-3)^2} =\frac{1}{32}\ \left( -\frac{4}{3}\right) +\frac{1}{16}\ \left( \frac{3}{4}\ \frac{\pi^2}{6}\right) +\frac{1}{16}\ \left( \frac{3}{4}\ \frac{\pi^2}{6} -\frac{10}{9}\right)$[/tex]
[tex]$= \frac{\pi^2}{64} -\frac{1}{9}$[/tex],

che è [tex]<\frac{\pi^2}{6}[/tex].

[alle.fabbri]

Gugo come sempre sei un grande e grazie mille!!!

[antani2]

E quindi è come avevi detto tu no? PErchè lui l'ha calcolata per l da 1 a infinito, tu la volevi da 0 a infinito quindi se ci aggiungi anche il termine con l =0 ottieni proprio 1/9 che cancella quello scritto da Gugol o sbaglio?

[j18eos]

"antani":...quello scritto da Gugol o sbaglio?

Sì sbagli: il nickname è gugo82; diminuito in gugo. Gugol???

[antani2]

oh c**zo mi ero sempre autoconvinto che fosse gugol! leggevo sempre una l prima di 82!!

[j18eos]

@antani: censura (tasto modifica in alto a destra)!

[antani2]

ah cacchio scusa cambio subito

[gugo82]

[OT]

Permettetemi una risata...

[/OT]

[j18eos]

@antani:Di nulla!

Il regolamento al punto 3.7 è chiaro! : )

@gugo82: chi non ride in compagnia non è figlio di Maria!

@forum: Chiudo per stasera. Buona notte!