Somma di una Serie

[JeKO2]

Mi sto sentendo stupido a dire la verità, questo è un semplice esercizio di esame sulla somma di una serie, solo che mi sto rendendo conto che non ho idea da dove iniziare, ne quanto meno a cosa tentare di ridurla!

$sum_(n=1)^(°°) sin(n pi/4)/2^n$

Lo so che non è bello postare il problema così, solo che non ho nessuna idea sul dove o come cominciare. Qualcuno riesce a darmi il via perfavore?

Grazie.

[vl4dster]

io direi che $| sin(n pi/4)/2^n | <= 1/(2^n)$

[Sk_Anonymous]

Se consideri l’identità…

$sin (n*pi/4)= ½*(e^(j*n*pi/4)-e^(-j*n*pi/4))$ (1)

... ti accorgi che la serie da te impostata può essere scritta come…

$sum_(n=1)^(+oo) sin (n*pi/4)/(2^n)=$

$= ½ *sum_(n=1)^(+oo) e^(j*n*pi/4)/(2^n) - ½* sum_(n=1)^(+oo) e^(-j*n*pi/4)/(2^n)$ (2)

Entrambi i termini della (2) sono ‘serie’ geometriche, la cui somma è…

$S= a_0/(1-q)$ (3)

… in cui $a_0$ è il ‘primo termine’ e $q$ la ‘ragione’. Per la prima è $a_0= q=½*e^(j*pi/4)= (1+j)/(2*sqrt(2))$. Per la seconda è $a_0=q=1/2*e^(-j*pi/4)=(1-j)/(2*sqrt(2))$. Il resto dei conti lo lascio a te… soprattutto perché probabilmente a farli io sbaglio…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[JeKO2]

Grazie ragazzi, ora non posso mettermi a controllare quello che avete scritto... i casini alcune volte sono improvvisi, dopo pranzo mi metto qui e vi dico cosa riesco a fre.

Grazie e scusate

[Sk_Anonymous]

Per completare questa bella soluzione aggiungo anche che la somma esatta
e' :
$(5sqrt2+4)/17$
Una piccola correzione:
Quell "1/2 " che compare davanti alle 2 sommatorie deve essere in realta' 1/(2j).
karl

[fireball1]

"JeKO":
$sum_(n=1)^(°°) sin(n pi/4)/2^n$

JeKO, il simbolo di infinito in MathML non si indica né con °°, né con inf, ma semplicemente con oo

[Sk_Anonymous]

"karl":Per completare questa bella soluzione aggiungo anche che la somma esatta
e' :
$(5sqrt2+4)/17$

Una piccola correzione:

Quell "1/2 " che compare davanti alle 2 sommatorie deve essere in realta' 1/(2j).
karl

Ovviamente è così!... il vecchio lupo ogni giorno che passa perde qualcosa...

Grazie comunque per aver usato il sinbolo $j$ per l'unità immaginaria!...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature